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【高考】数学大一轮复习第九章平面解析几何
9-6抛物线试题理北师大版
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质
y2＝2px(p>0) 标准方程 y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 对称轴 焦点 离心率 准线方程 范围 开口方向 【知识拓展】
O(0,0) y＝0 x＝0 ?p?F?，0? 2???p?F?－，0? ?2?e＝1 ?p?F?0，? ?2?p??F?0，－? ?2?px＝－ 2px＝ 2py＝－ 2py＝ 2x≥0，y∈R 向右 x≤0，y∈R 向左 y≥0，x∈R 向上 y≤0，x∈R 向下 ??2
1．抛物线y＝2px (p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F?，0?的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线
2?2?
的焦半径．
pp??2
2．y＝ax的焦点坐标为?，0?，准线方程为x＝－.
4?4?
3．设AB是过抛物线y＝2px(p>0)焦点F的弦， 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p.
4
2p(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2(α为弦AB的倾斜角)．
sinα(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦． 【思考辨析】
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2
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2
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判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y＝ax(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线
4方程是x＝－.( × )
4
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )
(4)AB为抛物线y＝2px(p>0)的过焦点F(，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，
24
22
aapp2
y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.( √ )
1．(2016·四川)抛物线y＝4x的焦点坐标是( ) A．(0,2) C．(2,0) 答案 D
B．(0,1) D．(1,0)
2
??2
解析 ∵对于抛物线y＝ax，其焦点坐标为?，0?，
?4?
∴对于y＝4x，焦点坐标为(1,0)．
2．(2016·张掖一诊)过抛物线y＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( ) A．9 B．8 C．7 D．6 答案 B
解析 抛物线y＝4x的焦点为F(1,0)， 准线方程为x＝－1.
根据题意，可得|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
3．设抛物线y＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
22
2
2
a?11?A.?－，? ?22?
C．[－1,1] 答案 C
B．[－2,2] D．[－4,4]
解析 Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得kx＋(4k－8)x＋4k＝0，
由Δ＝(4k－8)－4k·4k＝64(1－k)≥0，
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222
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解得－1≤k≤1.
4．(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________． 答案 y＝－8x或x＝－y
解析 设抛物线方程为y＝2px(p≠0)或x＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y＝－8x或x＝－y.
5．(2017·合肥月考)已知抛物线y＝2px(p>0)的准线与圆x＋y－6x－7＝0相切，则p的值为________． 答案 2
解析 抛物线y＝2px(p>0)的准线为x＝－，
2圆x＋y－6x－7＝0，即(x－3)＋y＝16， 则圆心为(3,0)，半径为4.
又因为抛物线y＝2px(p>0)的准线与圆x＋y－6x－7＝0相切，所以3＋＝4，解得p＝2.
2题型一 抛物线的定义及应用
例1 设P是抛物线y＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． 答案 4
解析 如图，过点B作BQ垂直准线于点Q， 交抛物线于点P1，
则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4. 即|PB|＋|PF|的最小值为4. 引申探究
1．若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值． 解 由题意可知点(3,4)在抛物线的外部． ∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离， ∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝4＋2 ＝16＋4＝25，
即|PB|＋|PF|的最小值为25.
2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．
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解 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)． 点P到y轴的距离d1＝|PF|－1， 所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.
易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为所以d1＋d2的最小值为32－1.
思维升华 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
(2016·西安市铁一中学模拟)已知点P是抛物线y＝－8x上一点，设P到此抛
物线准线的距离是d1，到直线x＋y－10＝0的距离是d2，则d1＋d2的最小值是( ) A.3 B．23 C．62 D．3 答案 C
解析 ∵抛物线方程是y＝－8x，
∴抛物线的焦点为F(－2,0)，准线方程是x＝2(如图)，
|－2＋0－10|∴d1＋d2的最小值是焦点F到直线x＋y－10＝0的距离，即(d1＋d2)min＝＝62.
1＋1题型二 抛物线的标准方程和几何性质 命题点1 求抛物线的标准方程
2
2
|1＋5|1＋－1
2
2
＝32，
x2y22
例2 已知双曲线C1：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x＝2py(p>0)的焦点
ab到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( ) 832
A．x＝y
3C．x＝8y 答案 D
2
1632
B．x＝y
3D．x＝16y
2
x2y2
解析 ∵2－2＝1的离心率为2，
abcc2a2＋b2b2b∴＝2，即2＝2＝4，∴2＝3，＝3. aaaaab?p?xyx＝2py(p>0)的焦点坐标为?0，?，2－2＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±3x.由题
a?2?ab2
2
2
p意得21＋
3
2
＝2，∴p＝8.故C2的方程为x＝16y.
2
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命题点2 抛物线的几何性质
例3 已知抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y1y2＝－p，x1x2＝；
411(2)＋为定值； |AF||BF|
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0)．
2由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y＝2px，
2得y＝2p?my＋?，即y－2pmy－p＝0.(*)
2??则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p. 因为y1＝2px1，y2＝2px2，所以y1y2＝4px1x2，
2
y2p4p21y2
所以x1x2＝2＝2＝.
4p4p4
2
2
22
2
2
2
2
2
p2
pp2
?
p?
22
1111(2)＋＝＋ |AF||BF|ppx1＋x2＋
22＝
x1＋x2＋p.
pp2
x1x2＋x1＋x2＋
2
4
因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，
4得
1|AB|2＋＝22＝(定值)． |AF||BF|pppp＋|AB|－p＋4241
p2
(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，
111
则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|. 222所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，
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【高考】数学大一轮复习第九章平面解析几何9-6抛物线试题理北师大版
