一元二次不等式及其解法-知识点剖析
一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集
1．一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准形式： （1）ax2+bx+c>0（a>0）； （2）ax2+bx+c<0（a>0）.
上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过方程ax2+bx+c=0的根确定.设Δ=b2-4ac，则： ①Δ>0时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的解x1、x2，则不等式（1）的解集为{x|x>x2或x ②Δ=0时，方程ax2+bx+c=0有两个相等的解，即x1=x2，则不等式（1）的解集为{x|x≠x1}，不等式（2）的解集为； ③Δ<0时，方程ax2+bx+c=0无实数解，则不等式（1）的解集为R，不等式（2）的解集为. 2．解一元二次不等式的一般步骤： 当a>0时，解形如ax2+bx+c>0（≥0）或ax2+bx+c<0（≤0）的一元二次不等式，一般可分为三步： （1）确定对应方程ax2+bx+c=0的解； （2）画出对应函数图象的简图； （3）由图象得出不等式的解集. 二、一元二次函数图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系 由下表可以看出ax2+bx+c>0对一切x∈R都成立的条件为??a?0，2 ax+bx+c<0对一切x∈R都成立的 ???0，条件为? ?a?0， ???0.Δ>0 Δ=0 Δ<0 判别式Δ=b2-4ac 二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根 一元二次不等式的解集 三、简单的分式不等式的解法 分式不等式 ax2+bx+c>0（a>0） ax2+bx+c<0（a>0） ?b?b2?4ac有两相异实根x1，2= 2a{x|x>x2或x ①与??f(x)?0，?f(x)?0，或?同解；②与f（x）g（x）>0同解 ?g(x)?0?g(x)?0①与??f(x)?0，?f(x)?0，或?，同解；②与f（x）g（x）<0同解 g(x)?0g(x)?0??f(x)?ag(x)>0同解；②与g（x）［f（x）-ag（x）］>0同解 g(x)①与 四、简单的一元高次不等式的解法 一元高次不等式f（x）>0用穿根法（或称根轴法、区间法）求解，其步骤是： （1）将f（x）最高次项的系数化为正数； （2）将f（x）分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积； （3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过）； （4）根据曲线显现出的f（x）值的符号变化规律，写出不等式的解集. 例：解不等式（x+2）（x+1）2（x-1）3（x-2）≤0. 解：原不等式变为（x+2）（x-1）（x-2）≤0或x=-1，各因式的根为-2，1，2，利用穿根法，原不等式的解集为{x|x≤-2或1≤x≤2或x=-1}. 知识探究 问题1：解一元二次不等式应该注意哪些问题? 探究：①要将二次项系数化为正，例如：解不等式-x2-2x-1<0，需首先转化为x2+2x+1>0求解. ②若一元二次不等式中二次项系数含字母，一般需要对二次项系数进行讨论，当两根的大小不确定时，还应对两根的大小进行讨论. 例如：解关于x的不等式ax2-（a+1）x+1<0. 首先对a进行讨论，若a=0，原不等式?-x+1?{x|x>1}； 11）（x-1）>0?{x|x<或x>1}； aa1 若a>0，原不等式?（x-）（x-1）<0.① a1 其解的情况应由与1的大小关系进行确定，故 a 当a=1时，式①?{x|x∈}； 1 当a>1时，式①?{x| a1 当0 a 若a<0，原不等式?（x- 注：对上述类型的二次不等式要搞清楚讨论的依据. 问题2：解简单的分式不等式应该注意哪些问题？ 探究：对于简单的分式不等式不能直接去分母，要把不等号的一边化为0，然后用商的符号法则化为不等式（组）求解. 例如：解不等式 ?x?1?0，5x?15x?12(x?1)<3，应先将不等式转化为-3<0，即<0，可化为?或x?1x?1x?1?x?1?0?x?1?0，，（即化为不等式①），也可直接等价于2（x-1）（x+1）<0（转化为不等式）来求.还应注意对??x?1?0含等号的分式不等式，首先保证分母不为0. 例如：解不等式 ?x?1?0，?x?1?0，5x?12(x?1)≤1?≤0??或?或直接等价于x?1x?1x?1?0x?1?0???2?x?1??x?1??0， ??x?1?0. 练习 请你和你的同学根据下面所给的材料，探究、讨论窗户应设计成怎样的尺寸. 要在墙上开一个上半部为半圆形，下部为矩形的窗户（如图3-2-4所示），在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸? 图3-2-4
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