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大 连 理 工 大 学
课 程 名 称： 高等代数（二） 试 卷：A 考试形式： 闭卷 授课院 (系)： 数学系 考试日期：2008 年7月14日 试卷共 6 页
一 二 16 三 12 四 10 五 10 六 10 七 10 八 / 九 / 十 / 总分 100 标准分 32 得 分 一．填空题（每小题4分，共32分）。
1. 判断下面所定义的变换, 哪些是线性变换, 哪些不是线性变换:
装 1) 在P[x] 中, ?(f(x))?f(x?1), f(x)?P[x]; 2) 在P[x] 中, ?(f(x))?f(x)?1, f(x)?P[x].
1）是线性变换 2)不是线性变换
订 ?ab???R2?2的线性变换，?(X)??2. 设?:R2?2? 其中R是实数域， ?cd??X，???10??01??00??00??????求?在基E11??,E?,E?,E??00?12?00?21?10?22??01??下的矩阵 ????????线b0?0b?? d0??0d?
3．已知三级矩阵A的三个特征值为1，2，3，则A*?A?1?A2?E相似于对角矩阵
?a?0??c??00a0c ??90??017?2??00??0??0? ?37??3?
4．设四级矩阵A的最小多项式为m(?)?(??1)2(??2)，写出A的所有可能的Jordan标准形
?1?1
?
?0??0
01000010
?0?0? ?0??2?1?1??0??0
01000020
0??0? ?0?2?
5．已知矩阵
2?1???A??2??12???，则A初等因子组
???2?,???1? ，
,?不变因子组为 1,1??，各阶行列式因子组为1,1,???1????2???1???222
6. 在欧氏空间R4中（内积按通常定义），向量??(0,0,1,1),??(0,1,1,0)之间的夹角
? 37．设?1,?2,?3是三维欧式空间的一组标准正交基，
?1?k(2?1?2?2??3),?2?k(2?1??2?2?3), ?3?k(?1?2?2?2?3)也是一
1组标准正交基，则k= ?。
38．设f(?,?)是数域P上三维线性空间V上的一个双线性函数，?1,?2,?3是V
?101???的一组基，矩阵A??021?是f(?,?)在?1,?2,?3下的度量矩阵，设
?210???
2
??2?1??2??3,???1??2，则f(?,?)= -1
二．计算
1．（6分）已知三级实对称矩阵A的三个特征值为?1?1,?2?2,?3?3，对应
?1,?2的特征向量分别为p1?(1,0,1),p2?(0,1,0)，求?3对应的特征向量.
解：设p?(x1,x2,x3)是?3对应的特征向量，则p与p1,p2皆正交， 即
x1?x3?0
x2?0 可得 p???1,0,1?
于是
?3?3的所有特征向量为 kp，k?0
2．（10分）设V是数域P上的一个线性空间，?1,?2,?3是它的一组基，f是V上的一个线性函数，已知f(?1??2)?1,f(?2?2?3)??1,f(?1??2)??3，求
f(x1?1?x2?2?x3?3). 解：由题意可知
?f(?1)?f(?2)??1? ?f(?2)?2f(?3)?1 ?
?f(?)?f(?)??213??f(?1)??2??f(?2)?1 ?f(?)?03?
所以 f(x1?1?x2?2?x3?3)?x1f(?1)?x2f(?2)?x3f(?3)=?2x1?x2
三．（12分）在P[x]n中(n?1)，微分变换D:D(f(x))?f'(x)是P[x]n上的线性变换
1. 求D的特征多项式；
2. 证明D在任何一组基下都不可能是对角矩阵; 3. 求D的核及值域.
解：1. 取P[x]n的一组基 1，x，x2，
，xn?1，则有
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08年高等代数二A卷
