【备战2012】高考数学 最新专题冲刺 数列（2） 理
5. (2011年高考湖北卷理科13)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节
的容积为 升
答案：
67 66解析：设从上往下的9节竹子的容积依次为a1,a2,，……，a9，公差为d，则有
a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得：a5?积
67.即第5节竹子的容6667. 665.(2011年高考陕西卷理科14)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。 【答案】2000
【解析】设树苗集中放置在第i号坑旁边，则20名同学返所走的路程总和为
l?2[(i?1)?(i?2)?2?2?1?1?2??(19?i)?(20?i)]?10
=(i?21i?210)?20?[(i?212399)?]?20即i?10或11时lmin?2000. 246.(2011年高考重庆卷理科11)在等差数列?an?中，a3?a7?37，则a2?a4?a6?a8? 解析：74. a2?a8?a4?a6?a3?a7?37，故a2?a4?a6?a8?2?37?74
11.(2011年高考浙江卷理科19)（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{an}的首项
a1?a (a?R),设数列的前n项和为Sn，且
111，，成等比数列（Ⅰ）求数列{an}a1a2a4的通项公式及Sn（Ⅱ）记An?11111111???...?，Bn???，当?...?S1S2S3Sna1a2a22a2nn?2时，试比较An与Bn的大小.
【解析】（Ⅰ）
1112???a2?a1a4?(a1?d)2?a1(a1?3d)?d?a1?a 2a2a1a4 则 an?a1?(n?1)d?a1?(n?1)a1?na1?na，
n(n?1)n(n?1)n(n?1)d?an?a?a 22211111111???...?（Ⅱ）An? ????...?1?22?33?4n(n?1)S1S2S3Snaaaa22222121 ??a1?2a2?3Sn?a1n??21?a3?4?2121?(1?)
an(n?1)an?111?()n11111n2?2(1?1)因为a2n?2a，所以Bn??????...?a2na1a2a22a2n?1a1?1
2112012n当n?2时，2?Cn?Cn?Cn??Cn?n?1即1??1?n；
n?12
所以当a?0时，An?Bn；当a?0时，An?Bn .
12.(2011年高考安徽卷理科18)（本小题满分13分）
在数1和100之间插入n个实数，使得这n?2个数构成递增的等比数列，将这n?2个数的乘积记作Tn，再令an?lgTn,n≥1.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn?tanan?tanan?1,求数列{bn}的前n项和Sn.
【命题意图】：本题考查等比和等差数列，指数和对数运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力。
【解析】：（Ⅰ）t1,t2,……,tn?2构成递增的等比数列，其中t1?1，tn?2?100，则
Tn?t1?t2?……?tn?1?tn?2 ① Tn?tn?2?tn?1?……?t2?t1 ②
2①×②并利用等比数列性质tn?2?t1?tn?1?t2?……=t1?tn?2?10得
Tn2?(tn?2?t1)?(tn?1?t2)?……?(t1?tn?2)?102(n?2) an?lgTn?lg10n?2?n?2，n?1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn?tanan?tanan?1?tan(n?2)?tan(n?3)，n?1 又
tan[(n?3)?tan(n?2)]?tan(n?3)?tan(n?2)?tan1
1?tan(n?2)?tan(n?3)?tan(n?2)?tan(n?3)?tan(n?3)?tan(n?2)?1
tan1所以数列{bn}的前n项和为
Sn?tan(1?2)?tan(1?3)?tan(2?2)?tan(2?3)?……?tan(n?2)?tan(n?3)tan(1?3)?tan(1?2)tan(2?3)?tan(2?2)tan(n?3)?tan(n?2)??……??ntan1tan1tan1tan(n?2)?tan3??ntan1?13. (2011年高考天津卷理科20)（本小题满分14分） 已知数列{an}与{bn}满足：bnan?an?1?bn?1an?23?(?1)n*?0,bn?， n?N，且
2a1?2,a2?4．
（Ⅰ）求a3,a4,a5的值；
*（Ⅱ）设cn?a2n?1?a2n?1,n?N，证明：?cn?是等比数列；
（Ⅲ）设Sk?a2?a4?????a2k,k?N,证明：
*Sk7?(n?N*)． ?6k?1ak4n【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.
?1,n是奇数3?(?1)n*（Ⅰ）解:由bn?,n?N,可得bn??, 又bnan?an?1?bn?1an?2?0,
22,n是偶数?当n=1时,a1?a2?2a3?0,由a1?2,a2?4,得a3??3;
当n=2时,2a2?a3?a4?0,可得a4??5. 当n=3时,a3?a4?2a5?0,可得a5?4. （Ⅱ）证明:对任意n?N,
*a2n?1?a2n?2a2n?1?0,① 2a2n?a2n?1?a2n?2?0,② a2n?1?a2n?2?2a2n?3?0,③
②-③得 a2n?a2n?3 ④,
*将④代入①,可得a2n?1?a2n?3??(a2n?1?a2n?1),即cn?1??cn(n?N),又c1?a1?a3??1,
故cn?0,因此
cn?1??1,所以?cn?是等比数列. cnk（III）证明：由（II）可得a2k?1?a2k?1?(?1)，
于是，对任意k?N且k?2，有
*a1?a3??1,?(a3?a5)??1,a5?a7??1,(?1)k(a2k?3?a2k?1)??1.k将以上各式相加，得a1?(?1)a2k?1??(k?1), k?1即a2k?1?(?1)(k?1)，
k?1此式当k=1时也成立.由④式得a2k?(?1)(k?3).
从而S2k?(a2?a4)?(a6?a8)??(a4k?2?a4k)??k,
S2k?1?S2k?a4k?k?3.
所以，对任意n?N,n?2，
nSkS4m?3S4m?2S4m?1S4m?(???) ??aaaaak?1km?14m?34m?24m?14m4n*??(m?1nn2m?22m?12m?32m???) 2m2m?22m?12m?323?)
2m(2m?1)(2m?2)(2m?2)??(m?1n253???? 2?3m?22m(2m?1)(2n?2)(2n?3)1n53???? 3m?2(2m?1)(2m?1)(2n?2)(2n?3)151111???[(?)?(?)?323557?(113?)]? 2n?12n?1(2n?2)(2n?3)15513?????3622n?1(2n?2)(2n?3)
7?.6对于n=1，不等式显然成立. 所以，对任意n?N,
*S1S2??a1a2?(?S2n?1S2n? a2n?1a2n?(S2n?1S2n?) a2n?1a2nSSS1S2?)?(3?4)?a1a2a3a41112?(1??)?(1?2?2)?41244?(42?1)1112?n?(?)?(2?22)?41244(4?1)?(?(1?1n?) 4n(4n?1)1n?) nnn44(4?1)111?n?(?)?n?.
41237. (2011年高考湖北卷理科19)（本小题满分13分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1?a(a?0),an?1?rSn(n?N?,r?R,r??1) (Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)若存在k?N?，使得Sk?1,Sk,Sk?2成等差数列，试判断：对于任意的m?N?，且m?2，
am?1,am,am?2是否成等差数列，并证明你的结论.
本小题主要考查等差数列、等比数列基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想.
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