mins..tf(X)?4x1?x22?12g1(X)?x12?x22?25?0g2(X)?x12?x22?10x1?10x2?34?0g3(X)??(x1?3)?(x2?1)?0g4(X)??x1?0g5(X)??x2?022
的一个数值解X?[1.000,4.900],试判定该解是否上述问题的最优解。
T第三章习题答案
33-1 函数f(X)?3x?8x?9，当初始点分别为x0?0及x0?1.8时，用进退法确定其一维优化的搜索区间，取初
始步长T0?0.1。 解：当x0?0时
（1）取T?T0?0.1,A1?0,A2?T?0.1 F1?F(A1)?f(X X?X(0)(0))?9
?A2S=0.1
(0) F2?F(A2)?f(X?A2S)?8.203
比较F1、F2，因F1?F2 ，所以应作前进搜索。 ⑵步长加倍：T?2T?0.2,A2?A2?T?1?2?0.3 F1?F2?8.203 X?X(0)?A2S=0.3
(0) F2?F(A2)?f(X?A2S)?6.681
再比较F1、F2，因F1?F2，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的A1点。所以：
A1?A2?T?0.3?0.2?0.1。
(3) 步长加倍：T?2T?0.4,A2?A2?T?0.3?0.4?0.7
F1?F2?6.681 X?X(0)?A2S=0.7
F2?F(A2)?f(X(0)?A2S)?4.429.
比较F1、F2，因F1?F2，所以还应再向前搜索, A1?A2?T?0.7?0.4?0.3。 (4) 步长加倍：T?2T?0.8,A2?A2?T?1.5
F1?F2?4.429 X?X(0)?A2S=1.5
F2?F(A2)?f(X(0)?A2S)?7.125.
比较F1、F2，因F1?F2。已找到具有“高－低－高”特征的区间 即：?1?A1?0.3时，F(?1)?6.681 ?2?A2?T?0.7时，F(?2)?4.429 ?3?A2?1.5时，F(?3)?7.125。 所以，F(?1)?F(?2)?F(?3)，单峰区间为： A??1?A1?0.3,B??3?A2?1.5。 当x0?1.8时
同理可得：A??1?A1??1.5,B??3?A2??0.3
3-2 用黄金分割法求函数F(?)???2?在区间[?35]中的极小点，要求计算到最大未确定区间长度小于0.05。 解：（1）在初始区间[a,b]＝[-3，5]中取计算点并计算函数值
2?(1)?b?0.618(b?a)?0.056;f1?f(?(1))?0.115136?因有f1≤f2，则b??(2)(2)?a?0.618(b?a)?1.944;f2?f(?(2))?7.667
（2）比较函数值，缩短搜索区间
?1.944;f2?f(?(2))?0.115136
?(1)?b?0.618(b?a)??1.11139;f1?f(?(1))??0.98759
（3）判断迭代终止条件
b－a＞ε 不满足迭代终止条件，比较函数值f1、f2继续缩短区间。
将各次缩短区间的有关计算数据列于下表。
表 黄金分割法的搜索过程
区间缩短次数 (原区间) 1 2 3 4 a -3 -3 -3 -1.832 -1.832 b 5 1.944 0.056 0.056 -0.665 α (1) 0.056 -1.111 -1.832 -1.111 -1.386 α (2) 1.944 0.056 -1.111 -0.665 -1.111 f1 0.115 -0.987 -0.306 -0.987 -0.851 f2 7.667 0.115 -0.987 -0.888 -0.987 （5-8）略 9 -1.046 -1.006 -0.997867 -0.999964 -1.11122 -0.94097
3-3 用二次插值法求函数F(?)?8??2??7??3的最优解。已知搜区间为[0解：采用Matlab编程计算得：??0.6207
(0)3-4 函数f(X)?x1?x1x2?x2?2x1?4x2，取初始点为X?[2322]，选代精度??0.01。
22(0)2]T，规定沿X点的负梯度方向进行一次
一维优化搜索，选代精度:?x?10?5,?f?10?6。
(1)用进退法确定一维优化搜索区间；
(2)用黄金分割法求最优化步长及一维优化最优值； (3)用二次插值法求最优化步长及一维优化最优值；
(4)上述两种一维优化方法在求解本题时，哪一个种方法收取更快，原因是什么？ 解：最优点X?[0二次插值法更快
3-5 求F(?)?(??1)(??2)的极小点，选代精度?x?0.1,?f?0.1。要求： (1)从??0出发，T0?0.1为步长确定搜索区间； (2)用黄金分割法求极值点；
(3)用二次插值法求极值点。 解：
(1) ①由已知条件可得，?1???0,F1?F(?1)?4
2*2]T,最优值f(X*)??4
?2??1?T0?0.1F2?F(?2)?(?2?1)(?2?2)2?(0.1?1)(0.1?2)2?3.971
因为F2?F1，应作前进搜索。
②步长加倍，T?2T0?0.2,F1?F2?3.971，
?2??2?T?0.1?0.2?0.3F2?F(?2)?(?2?1)(?2?2)2?(0.3?1)(0.3?2)2?3.757
因为F2?F1，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的?1点。所以：?1??2?0.3 ③步长加倍，T?2T?0.4,F1?F2?3.757，
?2??2?T?0.3?0.4?0.7F2?F(?2)?(?2?1)(?2?2)2?(0.7?1)(0.7?2)2?2.873
因为F2?F1，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的?1点。所以：?1??2?0.7 ④步长加倍，T?2T?0.8,F1?F2?2.873，
?2??2?T?0.7?0.8?1.5F2?F(?2)?(?2?1)(?2?2)2?(1.5?1)(1.5?2)2?0.625
因为F2?F1，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的?1点。所以：?1??2?1.5 ⑤步长加倍，T?2T?1.6,F1?F2?0.625，
?2??2?T?1.5?1.6?3.1F2?F(?2)?(?2?1)(?2?2)2?(3.1?1)(3.1?2)2?4.961
因为F2?F1，所以已找到具有“高—低—高”特征的区间 即?1?0.7时，F(?1)?2.873；
?2?1.5时，F(?2)?0.625； ?3?3.1时，F(?3)?4.961。
（2）由（1）确定的搜索区间[0.7,3.1]，利用Matlab进行黄金分割法一维优化搜索得:
?*?2.0082,f(?*)?(2.0082?1)?(2.0082?2)2?2.023?10?4
（3）由（1）确定的搜索区间[0.7,3.1]，利用Matlab进行二次插值法一维优化搜索得:
?*?1.9504,f(?*)?(1.9504?1)?(1.9504?2)2?7.258?10?3
机械优化设计课后习题答案
