第一章习题答案
1-1 某厂每日（8h制）产量不低于1800件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25
件／h，正确率为98％，计时工资为4元／h；二级检验员标准为：速度为15件／h，正确率为95％，计时工资3元／h。检验员每错检一件，工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？ 解：（1）确定设计变量；
根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ???x1??一级检验员???； ??x2??二级检验员?（2）建立数学模型的目标函数；
取检验费用为目标函数，即：
f(X) = 8*4*x1+ 8*3*x2 + 2（8*25*0.02x1 +8*15*0.05x2 ） =40x1+ 36x2
（3）本问题的最优化设计数学模型：
min f (X) = 40x1+ 36x2 X∈R s.t. g1(X) =1800-8*25x1+8*15x2≤0
g2(X) =x1 -8≤0 g3(X) =x2-10≤0
g4(X) = -x1 ≤0 g5(X) = -x2 ≤0
1-2 已知一拉伸弹簧受拉力F，剪切弹性模量G，材料重度r，许用剪切应力[?]，许用最大变形量[?]。欲选择一组设计变量X?[x13·
x2x3]T?[dD2n]T使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数n?3，
簧丝直径d?0.5，弹簧中径10?D2?50。试建立该优化问题的数学模型。
注：弹簧的应力与变形计算公式如下
38FnD28FD2D21??ks,ks?1?,c?(旋绕比），??
?d32cdGd4 解： （1）确定设计变量；
?x1??d?????根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = x2?D2； ??????n???x3???（2）建立数学模型的目标函数；
取弹簧重量为目标函数，即：
f(X) =
?24rx1x2x3
2（3）本问题的最优化设计数学模型：
min f (X) =
?24rx1x2x3 X∈R3
2·
s.t. g1(X) =0.5-x1 ≤0
g2(X) =10-x2 ≤0 g3(X) =x2-50 ≤0 g4(X) =3-x3 ≤0 g5(X) =(1?x18Fx2)????≤0 32x2?x138Fx2x3g6(X) =????≤0 4Gx1
1-3 某厂生产一个容积为8000 cm的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。
解：根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ?表面积为目标函数，即：
minf(X) = ?x12 + 2? x1 x2
考虑题示的约束条件之后，该优化问题数学模型为：
minf(X) = ?x12 + 2? x1 x2
X=[x1,x2]∈R
s.t. g1(X) = -x1 ≤0
g2(X) = -x2 ≤0
h1(X) = 8000 - ?x12 x2 = 0
1-4 要建造一个容积为1500 m的长方形仓库，已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为4元、6元和12元。基于美学的考虑，其宽度应为高度的两倍。现欲使其造价最低，试导出相应优化问题的数学模型。 解：（1）确定设计变量；
3
T
2
3
?x1??底面半径r???? , ? h??x2??高 ?x1??长?????根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = x2??宽?； ?????x3????高?（2）建立数学模型的目标函数；
取总价格为目标函数，即：
f(X) = 8(x1 x3 + x2 x3) + 6 x1 x2 + 12 x1 x2
（3）建立数学模型的约束函数；
3
1）仓库的容积为1500 m。即：
1500-x1 x2 x3 =0
2）仓库宽度为高度的两倍。即：
x2 -2 x3 = 0 3）各变量取值应大于0，即：
x1 > 0, x2 .> 0.，则 -x1 ≤0，-x2 ≤0
（4）本问题的最优化设计数学模型：
min f (X) = 8(x1 x3 + x2 x3) + 18 x1 x2 X∈R s.t. g1(X) = -x1 ≤0
3·
g2(X) = -x2 ≤0 g3(X) = -x3 ≤0 h1(X) = 1500-x1 x2 x3 =0 h2(X) = x2 -2 x3 = 0
1-5 绘出约束条件：
x1?x2?8； ?2x1?x2?8； x1x2?4 所确定的可行域 1-6 试在三维设计空间中，用向量分别表示设计变量： X1?[132222]T; X2?[234]T; X3?[414]T。
第二章习题答案
2-1 请作示意图解释：X(k?1)?X(k)??(k)S(k)的几何意义。
?20]T,P2?[2021]T,求该两向量之间的夹角?。
2 2-2 已知两向量P1?[1 2-3 求四维空间内两点(1,3,?1,2)和(2,6,5,0)之间的距离。
32(0)TT 2-4 计算二元函数f(X)?x1?x1x2?5x1?6在X?[11]处，沿方向S?[1?2]的方向导数fs'(X(0))和沿该点梯度方向的方向导数f'?(X(0))。 2-5 已知一约束优化设计问题的数学模型为
minf(X)?(x1?3)2?(x2?4)2X?[x1,x2]Tg1(X)?x1?x2?5?0g2(X)?x1?x2?2.5?0g3(X)??x1?0g4(X)??x2?0 求：
2、3、4时的四条等值线，并在图上画出可行区的范围。 (1) 以一定的比例尺画出当目标函数依次为f(X)?1、 (2) 找出图上的无约束最优解X1和对应的函数值f(X1?)，约束最优解X2和f(X2?)； (3) 若加入一个等式约束条件：
??h(X)?x1?x2?0
求此时的最优解X3，f(X3?)。
?解：下图为目标函数与约束函数（条件）设计平面X1OX2 。
其中的同心圆是目标函数依次为f(X)=1、2、3、4时的四条等值线；阴影的所围的部分为可行域。
由于目标函数的等值线为一同心圆，所以无约束最优解为该圆圆心即：
X1*＝[3，4]T
函数值 f(X1*)= 0 。
而约束最优解应在由约束线g1(X)=0，g2(X)=0，g3(X)=0，g4(X)=0，组成的可行域（阴影线内侧）
?x1?x2?5?0内寻找，即约束曲线g1(X)=0与某一等值线的一个切点X2*，可以联立方程：? ，解得
?x1?x2?1?0X2*=[2，3] 。
函数值 f(X2*)= (2-3)2 + (3-4)2 = 2 。
加入等式约束条件，则X3*为可行域上为h1(X)=0上与某一条等值线的交点，可以联立方程：
?x1?x2?5?0 ， 解得X3*=[5/2，5/2] 。 ??x1?x2?0函数值 f(X3*)= (5/2-3)2 + (5/2-4)2 = 2.5 。
2-6 试证明在(1,1)点处函数f(X)?x1?2x1x2?x1?x2?2x1?5具有极小值。 证明：求驻点：
4222?f(X)?f(X)32??2x1?2x2 ?4x1?4x1x2?2x1?2，
?x1?x2由?f(X)?f(X)?0，?0，得：驻点x*?[11]T，极值f(x*)?4 ?x1?x2?2f(X)?2f(X)?2f(X)?2f(X)2?12x1?4x2?2，???4x1，2?2 2?x1?x2?x2?x1?x1?x2?10?4? 海赛矩阵H(X)?????42?a各阶主子式：a11?10?0，11a21a12a22?10?4?42?0
H(X)是正定的， 所以驻点必定是极小点。故在(1,1)点处函数f(X)具有极小值。
222-7 求函数f(X)?3x1?2x2?2x1?x2?10的极值点，并判断其极值的性质。
解：
?f(X)?f(X)?6x1?2，?4x2?1 ?x1?x2由?f(X)?f(X)?0，?0，得：极值点x*?[1/31/4]T，极值f(x*)?229/24 ?x1?x2?2f(X)?2f(X)?2f(X)?2f(X)?6，??0，2?4 2?x1?x2?x2?x1?x1?x2?60?海赛矩阵H(X)???
04??a各阶主子式：a11?6?0，11a21a12a22?6004?0
H(X)是正定的，所以，f(X)为凸函数。
得：极值点X*?[1/31/4]T，极值f(x*)?229/24
222-8 试判断函数f(X)?2x1?x2?2x1x2?x1?1的凸性。
解：
?f(X)?f(X)?4x1?2x2?1，?2x2?2x1 ?x1?x2?2f(X)?2f(X)?2f(X)?2f(X)?5，??2，??2，2?2 2?x1?x2?x2?x1?x1?x2?5?2?海赛矩阵H(X)???
?22??a各阶主子式：a11?5?0，11a21H(X)是正定的， 所以，f(X)为凸函数。
222-9 试用向量及矩阵形式表示f(X)?x1?x2?10x1?4x2?60并证明它在D?{x1,x2???xi??,i?1,2}上
a12a22?5?2?22?0
是一个凸函数。 解：
?f(X)?f(X)??4?2x2?x1 ??10?2x1?x2，
?x1?x2?2f(X)?2f(X)?2f(X)?2，??1，2?2 2?x1?x2?x1?x2?2?1?海赛矩阵H(X)???
?12??a各阶主子式：a11?2?0，11a21H(X)是正定的， 所以，f(X)为凸函数。
2-10 现已获得优化问题
a12a22?2?1?12?0
机械优化设计课后习题答案
