矩阵可对角化的条件.

第二节 矩阵可对角化的条件

定义1 如果矩阵 能与对角矩阵相似，则称可对角化。

例1 设可对角化。

，则有：，即。从而

定理1 阶矩阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。

证明：必要性 如果可对角化，则存在可逆矩阵，使得

将按列分块得，从而有

因此有知

线性无关，故

，所以是的属于特征值的特征向量，又由可逆，

有个线性无关的特征向量。

充分性 设

，则有

矩阵且有：

是的个线性无关的特征向量，它们对应的特征值依次为

。令

，则

是一个可逆

因此有

角化。

，即，也就是矩阵可对

注 若

，于是有

，则，对按列分块得

，即

，从而

对角矩阵的元素就是矩阵

的特征值，可逆矩阵

就是由

。可见，

的线性无关的特征向量所构成

的，并且特征向量的顺序依赖于对角矩阵。

定理2 矩阵 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

证明：设向量，现对

是的个互不相同的特征值，

线性无关。

是的属于特征值的特征

作数学归纳法证明

当时，由于特征向量不为零，因此定理成立。

假设的

是

的

个互不相同的特征值对应的个互不相同的特征值，

是

个特征向量是线性无关的。设的属于特征值

的特征向量。又设

(1)

成立。则有式两边同乘从而有

，再由

,将其代入(1)式得

线性无关。

，因此有

得：

，又将(1)

,由归纳假设得两两互不相同可得，从而

推论1 若 阶矩阵有个互不相同的特征值，则可对角化，且

。

定理3 设向量为构成的向量组

是阶矩阵的个互异特征值，对应于的线性无关的特征

个 ）

，则由所有这些特征向量（ 共

是线性无关的。