利用三角形铅垂高、水平宽 求三角形面积 （专题）
1． 三角形面积公式的推广：
过△ABC三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，外侧两条 直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在 △ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出
1ah 2即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半
332例1.（全品探究题）如图，直线y??x?3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y?ax?x?c
44一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=
经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
1
例2．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由. 解：
铅垂高 C y y A C O B D B h B 水平宽 a 图1
x A P O x
例3． 如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S?CAB；(3)是否存在一点P，使S△PAB=在，请说明理由. 解：
图-2
2
1 O
1
A
B
D x
9S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存8y C
例4．（2015江津）如图，抛物线y??x?bx?c与x轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点。 （1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由. 解： 练习：
1．（2015浙江湖州）已知如图，矩形OABC的长OA=3，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC。 （1）填空：∠PCB=____度，P点坐标为（ ， ）； （2）若P，A两点在抛物线y=－
(2)(3)2yCQBOAxBPyCAxEO42
x+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上； 3（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若
存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由。
3
2．（湖北省十堰市2014）如图①， 已知抛物线y?ax2?bx?3（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
图① 图②
3.(2015年恩施) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数错误！未找到引用源。的图象与x轴交于A、B 两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点， 点P是直线BC下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP错误！未找到引用源。C， 那么是否存在点P，使四边形POP错误！未找到引用源。C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积. 解： 错误！未找 到引用源。 图11
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水平宽铅垂高求三角形面积
