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2-3 随机变量及其分布
要点归纳
一、离散型随机变量及其分布列
1．(1)随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关
系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这 个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．通常用字
母 X， Y，ξ，η等表示．
(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量 称为离散型随机变量． (3)离散型随机变量的分布列：
一般地，若离散型随机变量
X可能取的不同值为 x1，
x2 ， xi ， x n， X取每一个值 xi (i＝ 1， 2， ， n) 的概率 P(X＝ xi) ＝ pi，以表格的形式表示如下： X P
x1 p1
x 2 p2
xi pi
xn pn
我们将上表称为离散型随机变量
X 的概率分布列，简称为
P(X＝ xi) ＝ pi ，
X的分布列．有时为了简单起见，也用等式 i＝ 1， 2， ， n表示 X的分布列． (4) 离散型随机变量的分布列的性质： ① pi≥ 0， i ＝ 1， 2， ，n；
n
② pi＝ 1.
i ＝ 1
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(5)常见的分布列：
两点分布：如果随机变量 X的分布列具有下表的形式，则称 X服从两点分布，并称 p＝P(X＝ 1)为成功概率 .
X P 0 1－p 1 p
两点分布又称 0－ 1 分布，伯努利分布． 超几何分布：一般地，在含有
M 件次品的
N 件产品中，任取
n 件，其中恰有 X 件次品，则事件
k)＝
{ X ＝ k} 发生的概率为 P (X＝
CM CN
k
－
n－ k
M
n
， k＝ 0， 1， 2， ， m，即
C N
m n－ m －
M
X
0
CM CN
0 n －0
－
M
CM C N
1 n － 1 －
M
1 m CM CN
P
CNn CNn
CNn
其中 m＝min{ M ， n} ，且 n≤ N，M ≤N， n，M ， N∈ N* .如果随机变量 X的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X
服从超几何分布． 2．二项分布及其应用
(1)条件概率：一般地，设
P（ AB）
A 和 B 是两个事件，且
P( A)＞ 0，
称 P(B|A) ＝ P（ A） 为在事件
A 发生的条件下， 事件 B 发生
B 发生的概率． 的条件概率． P(B |A)读作 A 发生的条件下
(2)条件概率的性质： ①0≤P(B|A)≤1；
②必然事件的条件概率为 1，不可能事件的条件概率为 0；
③如果 B 和 C 是两个互斥事件，则
P(B∪ C|A )＝ P(B|A) ＋
P(C|A)．
(3)事件的相互独立性：设
A， B 为两个事件，如果 A 与事件 B 相互独立．如果事件
P(AB )＝
P(A)P(B)，则称事件 相互独立，那么
A 与 B
－ － － －
A与B，A与 B，A与 B也都相互独立．
(4) 独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的 验称为 n次独立重复试验．
n次试
(5) 二项分布：一般地，在 n次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为 X，在每次试验中事件 么在 n次独立重复试验中，事件
A发生的概率为 p，那
A恰好发生 k次的概率为
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P(X＝ k) ＝ Cp(1－ p)
kn－k
， k＝ 0，1， 2， ， n.此时称随机
变量 X服从二项分布，记作 X～ B(n， p)，并称 p为成功概 率．两点分布是当 n＝ 1时的二项分布，二项分布可以看成
是两点分布的一般形式．
3．离散型随机变量的均值与方差
(1) 均值、方差：一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1 p1
x2 p2
x i pi
x n pn
P
则称 E(X) ＝ x1 p1 ＋x2p2＋ ＋ xi pi＋ ＋xn pn为随机变量 X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水
平．
n
称 D( X )＝
i 1
＝
(xi－ E ( X)) 2 pi 为随机变量 X 的方差，
D （ X ）为
随机变量 X 的标准差．
(2) 均值与方差的性质：若 Y＝aX＋ b，其中 a，b是常数， X 是随机变量，则 Y也是随机变量，且 E(aX＋b)＝ aE(X)＋ b，
D(aX＋b)＝ a2D(X)．
(3) 常见分布的均值和方差公式：①两点分布：若随机变量 X服从参数为 p的两点分布，则均值 E(X)＝ p，方差 D(X)＝ p(1－p)．
②二项分布：若随机变量 X～B(n，p)，则均值 E(X)＝np， 方差 D(X)＝ np(1－p)．
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(2)正态曲线的特点：
①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线
x＝μ对称； 1
③曲线在 x＝μ处达到峰值 σ
2π；
④曲线与 x 轴之间的面积为 1.
(3) μ和 σ对正态曲线的影响：
①当 σ一定时，曲线的位置由 μ确定，曲线随着 μ的变化而沿 x 轴平移；
②当 μ一定时，曲线的形状由 σ确定， σ越小，曲线越 “瘦高 ”，表示总体的分布越集中； σ越大，曲线越 “矮胖 ”，表示总体的分布越分散．
(4) 正态分布的 3σ原则：若随机变量 X～N(μ， σ2)，则 P(μ
－ σ＜ X≤ μ＋ σ)＝ 0.682 6， P(μ－ 2σ＜ X≤μ＋ 2σ)＝ 0.954
4， P(μ－ 3σ＜ X≤ μ＋ 3σ)＝ 0.997 4.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布 N(μ，σ2
)的随机变量 X 只取 (μ－ 3σ， μ＋3σ)之间的值，并简称之为 3σ原
则．
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n（ A）
专题一
条件概率
1．条件概率的求法
(1)利用定义，分别求出
P(A)和 P(AB )，解得 P(B |A) ＝
P（AB） P（A）
.
(2)借助古典概型公式，先求事件 A 包含的基本事件数
n(A)，再在事件 A 发生的条件下求事件
B 包含的基本事 n（AB）
件数 n(AB) ，得 P(B|A)＝
n（ A）
.
2．解决概率问题要注意
“三个步骤，一个结合 ”
(1)求概率的步骤是：
第一步，确定事件性质；
第二步，判断事件的运算；
第三步，运用公式．
(2)概率问题常常与排列、组合知识相结合．
【例1】 在 5道题中有 3道理科题和 2道文科题．如果不放回地
依次抽取 2道题，求：
(1)第1次抽到理科题的概率；
(2)第1次和第 2次都抽到理科题的概率；
(3)在第 1次抽到理科题的条件下，第 2次抽到理科题的概率． 解
设“第 1次抽到理科题 ”为事件 A，“第2次抽到理科题 ”为事件 B，则 “第1次和第 2次都抽到理科题 ”为事件 AB.
(1)从 5 道题中不放回地依次抽取
2道题的事件数为 n(Ω)＝A 25＝
20.
根据分步乘法计数原理，
n(A)＝ A13× A 14＝ 12.
12 3
于是 P(A)＝ n（ Ω）＝ 20＝ 5.
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(完整版)选修2-3随机变量及其分布知识点总结材料典型例题.doc
