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2-3 随机变量及其分布
要点归纳
一、离散型随机变量及其分布列
1.(1)随机变量:在随机试验中,我们确定了一个对应关
系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这 个对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化.像这种
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.通常用字
母 X, Y,ξ,η等表示.
(2)离散型随机变量:所有取值可以一一列出的随机变量 称为离散型随机变量. (3)离散型随机变量的分布列:
一般地,若离散型随机变量
X可能取的不同值为 x1,
x2 , xi , x n, X取每一个值 xi (i= 1, 2, , n) 的概率 P(X= xi) = pi,以表格的形式表示如下: X P
x1 p1
x 2 p2
xi pi
xn pn
我们将上表称为离散型随机变量
X 的概率分布列,简称为
P(X= xi) = pi ,
X的分布列.有时为了简单起见,也用等式 i= 1, 2, , n表示 X的分布列. (4) 离散型随机变量的分布列的性质: ① pi≥ 0, i = 1, 2, ,n;
n
② pi= 1.
i = 1
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(5)常见的分布列:
两点分布:如果随机变量 X的分布列具有下表的形式,则称 X服从两点分布,并称 p=P(X= 1)为成功概率 .
X P 0 1-p 1 p
两点分布又称 0- 1 分布,伯努利分布. 超几何分布:一般地,在含有
M 件次品的
N 件产品中,任取
n 件,其中恰有 X 件次品,则事件
k)=
{ X = k} 发生的概率为 P (X=
CM CN
k
-
n- k
M
n
, k= 0, 1, 2, , m,即
C N
m n- m -
M
X
0
CM CN
0 n -0
-
M
CM C N
1 n - 1 -
M
1 m CM CN
P
CNn CNn
CNn
其中 m=min{ M , n} ,且 n≤ N,M ≤N, n,M , N∈ N* .如果随机变量 X的分布列具有上表的形式,则称随机变量 X
服从超几何分布. 2.二项分布及其应用
(1)条件概率:一般地,设
P( AB)
A 和 B 是两个事件,且
P( A)> 0,
称 P(B|A) = P( A) 为在事件
A 发生的条件下, 事件 B 发生
B 发生的概率. 的条件概率. P(B |A)读作 A 发生的条件下
(2)条件概率的性质: ①0≤P(B|A)≤1;
②必然事件的条件概率为 1,不可能事件的条件概率为 0;
③如果 B 和 C 是两个互斥事件,则
P(B∪ C|A )= P(B|A) +
P(C|A).
(3)事件的相互独立性:设
A, B 为两个事件,如果 A 与事件 B 相互独立.如果事件
P(AB )=
P(A)P(B),则称事件 相互独立,那么
A 与 B
- - - -
A与B,A与 B,A与 B也都相互独立.
(4) 独立重复试验:一般地,在相同条件下重复做的 验称为 n次独立重复试验.
n次试
(5) 二项分布:一般地,在 n次独立重复试验中,设事件 A 发生的次数为 X,在每次试验中事件 么在 n次独立重复试验中,事件
A发生的概率为 p,那
A恰好发生 k次的概率为
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P(X= k) = Cp(1- p)
kn-k
, k= 0,1, 2, , n.此时称随机
变量 X服从二项分布,记作 X~ B(n, p),并称 p为成功概 率.两点分布是当 n= 1时的二项分布,二项分布可以看成
是两点分布的一般形式.
3.离散型随机变量的均值与方差
(1) 均值、方差:一般地,若离散型随机变量X的分布列为
X
x1 p1
x2 p2
x i pi
x n pn
P
则称 E(X) = x1 p1 +x2p2+ + xi pi+ +xn pn为随机变量 X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水
平.
n
称 D( X )=
i 1
=
(xi- E ( X)) 2 pi 为随机变量 X 的方差,
D ( X )为
随机变量 X 的标准差.
(2) 均值与方差的性质:若 Y=aX+ b,其中 a,b是常数, X 是随机变量,则 Y也是随机变量,且 E(aX+b)= aE(X)+ b,
D(aX+b)= a2D(X).
(3) 常见分布的均值和方差公式:①两点分布:若随机变量 X服从参数为 p的两点分布,则均值 E(X)= p,方差 D(X)= p(1-p).
②二项分布:若随机变量 X~B(n,p),则均值 E(X)=np, 方差 D(X)= np(1-p).
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(2)正态曲线的特点:
①曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交; ②曲线是单峰的,它关于直线
x=μ对称; 1
③曲线在 x=μ处达到峰值 σ
2π;
④曲线与 x 轴之间的面积为 1.
(3) μ和 σ对正态曲线的影响:
①当 σ一定时,曲线的位置由 μ确定,曲线随着 μ的变化而沿 x 轴平移;
②当 μ一定时,曲线的形状由 σ确定, σ越小,曲线越 “瘦高 ”,表示总体的分布越集中; σ越大,曲线越 “矮胖 ”,表示总体的分布越分散.
(4) 正态分布的 3σ原则:若随机变量 X~N(μ, σ2),则 P(μ
- σ< X≤ μ+ σ)= 0.682 6, P(μ- 2σ< X≤μ+ 2σ)= 0.954
4, P(μ- 3σ< X≤ μ+ 3σ)= 0.997 4.
在实际应用中,通常认为服从于正态分布 N(μ,σ2
)的随机变量 X 只取 (μ- 3σ, μ+3σ)之间的值,并简称之为 3σ原
则.
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n( A)
专题一
条件概率
1.条件概率的求法
(1)利用定义,分别求出
P(A)和 P(AB ),解得 P(B |A) =
P(AB) P(A)
.
(2)借助古典概型公式,先求事件 A 包含的基本事件数
n(A),再在事件 A 发生的条件下求事件
B 包含的基本事 n(AB)
件数 n(AB) ,得 P(B|A)=
n( A)
.
2.解决概率问题要注意
“三个步骤,一个结合 ”
(1)求概率的步骤是:
第一步,确定事件性质;
第二步,判断事件的运算;
第三步,运用公式.
(2)概率问题常常与排列、组合知识相结合.
【例1】 在 5道题中有 3道理科题和 2道文科题.如果不放回地
依次抽取 2道题,求:
(1)第1次抽到理科题的概率;
(2)第1次和第 2次都抽到理科题的概率;
(3)在第 1次抽到理科题的条件下,第 2次抽到理科题的概率. 解
设“第 1次抽到理科题 ”为事件 A,“第2次抽到理科题 ”为事件 B,则 “第1次和第 2次都抽到理科题 ”为事件 AB.
(1)从 5 道题中不放回地依次抽取
2道题的事件数为 n(Ω)=A 25=
20.
根据分步乘法计数原理,
n(A)= A13× A 14= 12.
12 3
于是 P(A)= n( Ω)= 20= 5.
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(完整版)选修2-3随机变量及其分布知识点总结材料典型例题.doc
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