2016年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
第Ⅰ部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
0，1，2，3?，则AIB?（ ） （1）已知集合A?{x||x|?2}，B???1，1? （B）?0，1，2? （C）??1，0，1? （D）??1，0，1，2? （A）?0，?2x?y≤0,?（2）若x，y满足?x?y≤3,则2x?y的最大值为（ ）
?x≥0,? （A）0 （B）3 （C）4 （D）5 （3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1， 则输出的k值为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（4）设a，b是向量．则“|a|?|b|”是“|a?b|?|a?b|”的（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （5）已知x，y?R，且x?y?0，则（ ）
11?1??1? （A）??0 （B）sinx?siny?0 （C）??????0 （D）lnx?lny?0
xy?2??2?xy（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
1 （A）
61 （B）
31正（主）视图侧（左）视图11 （C）
211 （D）1
俯视图（7）将函数y?sin(2x?)图象上的点P(,t)向左平移s(s?0)个单位长度得到点P?.若P?位于函数
34??y?sin2x的图象上，则（ ）
（A）t?，s的最小值为
21?6 （B）t? （D）t?32，s的最小值为，s的最小值为
?6
（C）t?，s的最小值为
21?332?3（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）
（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 （C）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
第Ⅱ部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
（9）设a?R，若复数(1?i)(a?i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a? ． （10）在(1?2x)6的展开式中，x2的系数为 ．（用数字作答） （11）在极坐标系中，直线?cos??3?sin??1?0与圆??2cos?交于A,B两点，则
|AB|? ．
（12）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1?6，a3?a5?0，则S6? ．
x2y2（13）双曲线2?2?1?a?0，b?0?的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该
ab双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a? ．
?x3?3x,x≤a,（14）设函数f(x)??
x?a.??2x,① 若a?0，则f(x)的最大值为 ；
② 若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题13分） 在?ABC中，a2?c2?b2?2ac． （Ⅰ）求?B的大小；
（Ⅱ）求2cosA?cosC的最大值． （16）（本小题 13分）
A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：
A组 B组 C组 6 6 3 6.5 7 4.5 7 8 6 7.5 9 7.5 8 10 9 11 10.5 12 12 13.5 （Ⅰ）试估计C班的学生人数； （Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙， 假设所有学生的锻炼时间相互独立， 求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （Ⅲ）再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时）．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为?1，表格中数据的平均数记为
?0，试判断?0和?1的大小．（结论不要求证明）
（17）（本小题14分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，平面PAD?平面ABCD，
AD?2，AB?AD，AB?1，PA?PD，AC?CD?5． PA?PD，
P（Ⅰ）求证：PD?平面PAB；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存求
AMAPDBCA在，
的值；若不存在，说明理由．
（18）（本小题13分）
设函数f(x)?xea?x?bx，曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y?(e?1)x?4． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）求f(x)的单调区间． （19）（本小题14分）
x2y23O(0,0)，?OAB的面积为1． 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，A(a,0)，B(0,b)，
ab2（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N． 求证：|AN|?|BM|为定值． （20）（本小题13分）
设数列A:a1,a2,???,aN(N≥2)．如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有ak?an，则称n是数列
A的一个“G时刻”．记G(A)是数列A的所有“G时刻”组成的集合． （Ⅰ）对数列A:?2,2,?1,1,3，写出G(A)的所有元素； （Ⅱ）证明：若数列A中存在an使得an?a1，则G(A)??；
（Ⅲ）证明：若数列A满足an?an?1≤1(n?2,3,???,N)，则G(A)的元素个数不小于aN?a1．
2016年北京高考数学（理科）答案与解析
1. C
【解析】集合A?{x|?2?x?2}，集合B?{x|?1,0,1,2,3}，所以AIB?{?1,0,1}. 2. C
【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为?1,2?，最大值为
2?1?2?4.
3. B
【解析】开始a?1，k?0；第一次循环a??，k?1；第二次循环a??2，k?2，第三次循环a?1，
条件判断为“是”跳出，此时k?2.
4. D
【解析】若a=b成立，则以a，b为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，a+b，a?b表
rrrr示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以a+b=a?b不一定成立，从而rrrrrr不是充分条件；反之，a+b=a?b成立，则以a，b为边组成平行四边形，则该平行四边形
rrrrrrrr12为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以a=b不一定成立，从而不是必要条件.
5. C
【解析】 A.考查的是反比例函数y?在?0,???单调递减，所以?xrr1x1x111即??0所以A错； B.yxyxyxy考查的是三角函数y?sinx在?0,???单调性，不是单调的，所以不一定有sinx?siny，B1??1??1??1??1??错；所以有?即C.考查的是指数函数y???在?0,???单调递减，??????????0?2??2??2??2??2?所以C对；D考查的是对数函数y?lnx的性质，lnx?lny?lnxy，当x?y?0时，xy?0不
一定有lnxy?0，所以D错.
6．A
【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高h?1，底面积S??1?1?，
所以体积V?Sh?.
7．A
????????【解析】点P?,t?在函数y?sin?2x??上，所以t?sin?2????sin???，然后
434362????????π?π?π??y?sin?2x??向左平移s个单位，即y?sin?2(x?s)???sin2x，所以s?+kπ,k?Z，所以s3?3?6??π的最小值为.
613161212πππππ18．B
【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：
①红+红，则乙盒中红球数加1个； ②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个；
③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个； ④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．
因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机． ③和④对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响．
北京市高考数学试卷理科
