§1.4 三角函数的图象与性质
1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
学习目标 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．
知识点一 正弦函数、余弦函数的概念
思考 从对应的角度如何理解正弦函数、余弦函数的概念？
答案 实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦(或余弦)值．这样，任意给定一个实数x，有唯一确定的值sinx(或cosx)与之对应．由这个对应法则所确定的函数y＝sinx(或y＝cosx)叫做正弦函数(或余弦函数)，其定义域是R.
知识点二 几何法作正弦函数、余弦函数的图象
思考1 课本上是利用什么来比较精确的画出正弦函数的图象的？其基本步骤是什么？ 答案 利用正弦线，这种作图方法称为“几何法”，其基本步骤如下：
①作出单位圆：作平面直角坐标系，并在直角坐标系中y轴左侧的x轴上取一点O1，作出以
O1为圆心的单位圆；
②等分单位圆，作正弦线：从⊙O1与x轴的交点A起，把⊙O1分成12等份．过⊙O1上各分点πππ
作x轴的垂线，得到对应于0，，，，…，2π等角的正弦线；
632③找横坐标：把x轴上从0到2π这一段分成12等份；
④找纵坐标：把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上对应的点x重合，从而得到12条正弦线的12个终点；
⑤连线：用光滑的曲线将12个终点依次从左至右连接起来，即得到函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，如图．
因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sinx，x∈[2kπ，2(k＋1)π)，k∈Z
且k≠0的图象与函数y＝sinx，x∈[0,2π)的图象的形状完全一致．于是只要将函数y＝sinx，
x∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图象，如图．
思考2 如何由正弦函数的图象通过图形变换得到余弦函数的图象？
π
答案 把y＝sinx，x∈R的图象向左平移个单位长度，即可得到y＝cosx，x∈R的图象．
2梳理 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
知识点三 “五点法”作正弦函数、余弦函数的图象 思考1 描点法作函数图象有哪几个步骤？ 答案 列表、描点、连线．
思考2 “五点法”作正弦函数、余弦函数在x∈[0,2π]上的图象时是哪五个点？ 答案
画正弦函数图象的五点 画余弦函数图象的五点 梳理 “五点法”作正弦函数y＝sinx(x∈[0,2π])、余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]图象的步骤 (1)列表
π?(0,0) ??2，1? ??(π，0) ?3π，－1? ?2????3π，0? ?2???(2π，0) (2π，1) π?(0,1) ??2，0? (π，－1) ??x sinx cosx (2)描点
0 0 1 π 21 0 π 0 －1 3π 2－1 0 2π 0 1 画正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是
?π??3π?(0,0)，?，1?，(π，0)，?，－1?，(2π，0)； ?2??2?
画余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是
?π??3π，0?，(2π，1)．
(0,1)，?，0?，(π，－1)，??
?2??2?
(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦函数y＝sinx(x∈[0,2π])、余弦函数y＝cosx(x∈[0,2π])的简图．
1．正弦函数y＝sin x的图象向左、右和上、下无限伸展．( × )
提示 正弦函数y＝sinx的图象向左、右无限伸展，但上、下限定在直线y＝1和y＝－1之间．
2．函数y＝sinx与y＝sin(－x)的图象完全相同．( × ) 提示 二者图象不同，而是关于x轴对称．
3．余弦函数y＝cosx的图象与x轴有无数个交点．( √ )
4．余弦函数y＝cosx的图象与y＝sinx的图象形状和位置都不一样．( × ) 提示 函数y＝cosx的图象与y＝sinx的图象形状一样，只是位置不同．
类型一 “五点法”作图的应用
例1 利用“五点法”作出函数y＝1－sinx(0≤x≤2π)的简图． 考点 正弦函数的图象 题点 五点法作正弦函数的图象 解 取值列表：
x sinx 1－sinx
描点连线，如图所示．
0 0 1 π 21 0 π 0 1 3π 2－1 2 2π 0 1
反思与感悟 作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sinx或y＝cosx的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．
跟踪训练1 (1)用“五点法”作出函数y＝1－cosx(0≤x≤2π)的简图． 考点 余弦函数的图象
高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象学案新人教A版
