§4.7 解三角形应用举例
2024高考会这样考
考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问
题中和三角形有关的角度、方向、距离等测量问题.
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复习备考要这样做
1.会从实际问题抽象中解三角形问题,培养
建模能力;2.掌握解三角形实际应用的基本方法,体会数学在实际问题中的应用. 1. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 2. 实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①).
(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏西45°等. (3)方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②). (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的正切值. 3. 解三角形应用题的一般步骤
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(1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.
(4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. [难点正本 疑点清源] 解三角形应用题的两种情形
(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.
(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的
三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.
1. 在某次测量中,在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°,C点的俯角是70°,则
∠BAC=________. 答案 130°
解析 由已知∠BAD=60°,∠CAD=70°, ∴∠BAC=60°+70°=130°.
2. (2024·上海)在相距2千米的A,B两点处测量目标C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则
A,C两点之间的距离是__________千米. 答案
6
解析 如图所示,由题意知∠C=45°, AC2由正弦定理得=,
sin 60°sin 45°∴AC=
23
·=6. 222
3. 江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水面上,由炮台顶部测得
俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距________ m. 答案 103
解析 如图,OA为炮台,M、N为两条船的位置,∠AMO=45°,∠ANO =60°,OM=AOtan 45°=30,
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ON=AOtan 30°=由余弦定理得, MN=
3
×30=103, 3
900+300-2×30×103×
3
=300=103(m). 2
4. 某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°,沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000 m后到
达D处,又测得山顶的仰角为60°,则山的高度BC为____________ m. 答案 500(3+1)
解析 过点D作DE∥AC交BC于E,因为∠DAC=30°,故∠ADE=150°. 于是∠ADB=360°-150°-60°=150°. 又∠BAD=45°-30°=15°,
ADsin∠ADB
故∠ABD=15°,由正弦定理得AB=
sin∠ABD=
1 000sin 150°
=500(6+2)(m).
sin 15°
所以在Rt△ABC中,BC=ABsin 45°=500(3+1)(m).
5. 两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站北偏东40°,灯塔B在观
察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的 A.北偏东10° C.南偏东10° 答案 B
解析 灯塔A、B的相对位置如图所示,由已知得∠ACB=80°, ∠CAB=∠CBA=50°,
则α=60°-50°=10°,即北偏西10°. 题型一 测量距离问题
( )
B.北偏西10° D.南偏西10°
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例
1 要测量对岸A、B两点之间的距离,
选取相距3 km的C、D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求A、B之间的距离.
思维启迪:将题中距离、角度转化到一个三角形中,再利用正、余弦定理解三角形. 解 如图所示,在△ACD中,
∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°, ∴AC=CD=3 km. 在△BCD中,∠BCD=45°, ∠BDC=75°,∠CBD=60°. 3sin 75°6+2∴BC==.
sin 60°2
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四川专用(理)[步步高]2014届高三数学大一轮复习讲义配套Word版文档4.7
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