§4.7 解三角形应用举例
2019高考会这样考
考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问
题中和三角形有关的角度、方向、距离等测量问题．
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复习备考要这样做
1.会从实际问题抽象中解三角形问题，培养
建模能力；2.掌握解三角形实际应用的基本方法，体会数学在实际问题中的应用． 1． 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2． 实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．
(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． (3)方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值． 3． 解三角形应用题的一般步骤
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(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． [难点正本 疑点清源] 解三角形应用题的两种情形
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的
三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
1． 在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则
∠BAC＝________. 答案 130°
解析 由已知∠BAD＝60°，∠CAD＝70°， ∴∠BAC＝60°＋70°＝130°.
2． (2019·上海)在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则
A，C两点之间的距离是__________千米． 答案
6
解析 如图所示，由题意知∠C＝45°， AC2由正弦定理得＝，
sin 60°sin 45°∴AC＝
23
·＝6. 222
3． 江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得
俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________ m. 答案 103
解析 如图，OA为炮台，M、N为两条船的位置，∠AMO＝45°，∠ANO ＝60°，OM＝AOtan 45°＝30，
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ON＝AOtan 30°＝由余弦定理得， MN＝
3
×30＝103， 3
900＋300－2×30×103×
3
＝300＝103(m)． 2
4． 某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000 m后到
达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为____________ m. 答案 500(3＋1)
解析 过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°. 于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°. 又∠BAD＝45°－30°＝15°，
ADsin∠ADB
故∠ABD＝15°，由正弦定理得AB＝
sin∠ABD＝
1 000sin 150°
＝500(6＋2)(m)．
sin 15°
所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin 45°＝500(3＋1)(m)．
5． 两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观
察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的 A．北偏东10° C．南偏东10° 答案 B
解析 灯塔A、B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°， ∠CAB＝∠CBA＝50°，
则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°. 题型一 测量距离问题
( )
B．北偏西10° D．南偏西10°
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例
1 要测量对岸A、B两点之间的距离，
选取相距3 km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．
思维启迪：将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正、余弦定理解三角形． 解 如图所示，在△ACD中，
∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°， ∴AC＝CD＝3 km. 在△BCD中，∠BCD＝45°， ∠BDC＝75°，∠CBD＝60°. 3sin 75°6＋2∴BC＝＝.
sin 60°2
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四川专用（理）[步步高]2014届高三数学大一轮复习讲义配套Word版文档4.7
