§2.3 指数与指数函数
考纲解读
考点 指数与指数函数
内容解读 1.比较幂的大小 2.指数函数图象和性质的运用
要求 B
五年高考统计
常考题型 预测热度
2013 2014 2015 2016 2017
分析解读 指数函数是基本函数之一,高考一般考查其基本性质,有时候会在解答题中考查综合运用.
五年高考
考点 指数与指数函数
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1.(2017课标全国Ⅰ理改编,11,5分)设x,y,z为正数,且2=3=5,则2x,3y,5z的大小关系为 (用“<”连接).
答案 3y<2x<5z
2.(2015江苏,7,5分)不等式
<4的解集为 .
7题 19题 5分 16分
填空题
★★☆
解答题
答案 {x|-1 |x-m| 3.(2015天津改编,7,5分)已知定义在R上的函数f(x)=2-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为 . 答案 b>a>c x 4.(2015山东,14,5分)已知函数f(x)=a+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= . 答案 - xx 5.(2016江苏,19,16分)已知函数f(x)=a+b(a>0,b>0,a≠1,b≠1). (1)设a=2,b=. ①求方程f(x)=2的根; ②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值; (2)若0 x-x 所以f(x)=2+2. x-xx2x ①方程f(x)=2,即2+2=2,亦即(2)-2×2+1=0, x2x 所以(2-1)=0,于是2=1,解得x=0. 2x-2xx-x22 ②由条件知f(2x)=2+2=(2+2)-2=(f(x))-2. 因为f(2x)≥mf(x)-6对于x∈R恒成立,且f(x)>0, 所以m≤对于x∈R恒成立. 而=f(x)+≥2=4,且=4, 所以m≤4,故实数m的最大值为4. 00 (2)因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a+b-2=0, 所以0是函数g(x)的唯一零点. xx 由0 1 所以g'(x)=0有唯一解x0=lo x x . x 2 x 2 令h(x)=g'(x),则h'(x)=(aln a+bln b)'=a(ln a)+b(ln b), 从而对任意x∈R,h'(x)>0,所以g'(x)=h(x)是(-∞,+∞)上的单调增函数. 于是当x∈(-∞,x0)时,g'(x) 若x0<0,则x0<<0,于是g 的闭区间上的图象不间断,所以在和loga2之间存在g(x)的零点,记为x1.因为0 又<0,所以x1<0,与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾. 若x0>0,同理可得,在和logb2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾. 因此,x0=0. 于是- =1,故ln a+ln b=0,所以ab=1. 三年模拟 A组 2016—2018年模拟·基础题组 考点 指数与指数函数 x-x2 1.(2018江苏徐州铜山中学期中)已知函数f(x)=e-e+1(e为自然对数的底数),若f(2x-1)+f(4-x)>2,则实数x的取值范围是 . 答案 (-1,3) |x-a| 2.(2018江苏金陵中学高三月考)已知函数f(x)=e(a为常数),若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是 . 答案 (-∞,1] 2x 3.(苏教必1,三,1,3,变式)若函数y=(a-1)在(-∞,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围是 . 答案 (-,-1)∪(1,) 4.(2016江苏苏州一模,11)函数f(x)=的值域为 . 答案 (-∞,1] x-x 5.(2017江苏苏州期中,15)已知函数f(x)=3+λ·3(λ∈R). (1)若f(x)为奇函数,求λ的值和此时不等式f(x)>1的解集; (2)当x∈[0,2]时,不等式f(x)≤6恒成立,求实数λ的取值范围. x-x 解析 (1)∵f(x)=3+λ·3为奇函数, -xxx-xx-xx-xx-x ∴f(-x)+f(x)=3+λ·3+3+λ·3=(3+3)+λ(3+3)=(λ+1)(3+3)=0, x-x ∵3+3>0,∴λ+1=0,即λ=-1. x-x 此时f(x)=3-3, x-xx2x 由f(x)>1,得3-3>1,即(3)-3-1>0, 解得3< x (舍)或3> x ,即x>log3. 2 ∴不等式f(x)>1的解集为. (2)由f(x)≤6得3+λ·3≤6,即3+≤6, 令t=3,x∈[0,2],则t∈[1,9], 原不等式等价于t+≤6在t∈[1,9]上恒成立, 2 亦即λ≤6t-t在t∈[1,9]上恒成立, 2 令g(t)=6t-t,t∈[1,9], 当t=9时,g(t)取得最小值g(9)=-27, ∴λ≤-27. B组 2016—2018年模拟·提升题组 (满分:50分 时间:25分钟) 一、填空题(每小题5分,共20分) x x-xx 1.(苏教必1,三,1,7,变式)关于x的方程=有负数根,则实数a的取值范围为 . 答案 2.(苏教必1,三,1,8,变式)设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是 . 答案 (-3,1) aba+babca+b+c 3.(2017江苏海安高级中学阶段检测,12)若实数a,b,c满足2+2=2,2+2+2=2,则c的最大值为 . 答案 log2 4.(2016江苏南京、盐城一模,14)设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=2+,设g(x)=数y=g(x)-t有且只有一个零点,则实数t的取值范围是 . x 若函 答案 二、解答题(共30分) xxsts+t 5.(2017江苏泰州姜堰期中,17)已知函数f(x)=4-2,实数s,t满足f(s)+f(t)=0,设a=2+2,b=2. (1)当函数f(x)的定义域为[-1,1]时,求f(x)的值域; (2)求函数关系式b=g(a)(无需求函数g(a)的定义域). 解析 (1)令m=2,当x∈[-1,1]时,m∈ x , 3 函数可化简为h(m)=m-m,易知h(m)在 2 上单调递增,所以h(m)的值域为, ∴当定义域为[-1,1]时,f(x)的值域为(2)由f(s)+f(t)=0可得4-2+4-2=0, 化简得 -2·2-(2+2)=0, s+t s t s s t t . 因为a=2+2,b=2,所以a-2b-a=0,即b= sts+t2 ,所以g(a)= 2 . 6.(2016江苏淮阴中学期中,19)已知函数g(x)=ax-2ax+1+b(a>0)的定义域为[2,3],值域为[1,4],设f(x)=. (1)求a,b的值; xx (2)若不等式f(2)-m·2≥0在[-1,1]上恒成立,求实数m的取值范围; (3)若f(|2-1|)+k· 2 x -3k=0有三个不等的实数解,求实数k的取值范围. 解得 解析 (1)g(x)=a(x-1)+1+b-a,因为a>0,所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,故 (2)由已知及(1)可得f(x)=x+-2,所以f(2)-m·2≥0可化为2+-2≥m·2,所以1+则m≤u-2u+1. 2 xxxx -2·≥m,令u=, 因为x∈[-1,1],所以u∈,记h(u)=u-2u+1,因为u∈ 2 ,所以h(u)min=0,由不等式在[-1,1]上恒成立得 m≤h(u)min,所以m的取值范围是(-∞,0]. x (3)由2-1≠0,得x≠0. x2 令|2-1|=t,则t∈(0,+∞),原方程有三个不等的实数解可转化为t-(3k+2)t+(2k+1)=0有两个不等的实数解,记为t1,t2,其中0 2 记φ(t)=t-(3k+2)t+(2k+1), 则① 围是(0,+∞). 或②解不等式组①得k>0,不等式组②的解集为?,所以实数k的取值范 C组 2016—2018年模拟·方法题组 方法1 指数函数的图象及其应用 1.(2016江苏宿迁模拟)已知实数a,b满足等式=,下列五个关系 式:①0 方法2 指数函数的性质及其应用 4 2.(2016河北石家庄模拟)当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x <0恒成立,则实数m的取值范围是 . 答案 (-1,2) 3.已知f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且当x∈(0,1)时,f(x)=. (1)求函数f(x)的解析式; (2)判断f(x)在(0,1)上的单调性; (3)当λ取何值时,方程f(x)=λ在(-1,1)上有实数解? 解析 (1)∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,∴f(0)=0. 设x∈(-1,0),则-x∈(0,1), ∴f(-x)===-f(x), ∴f(x)=-,∴f(x)= (2)任取x1,x2∈(0,1),且x1 则f(x1)-f(x2)= = , ∵0 , >20 =1, ∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x)在(0,1)上为减函数. (3)∵f(x)在(0,1)上为减函数, ∴ 同理,x∈(-1,0)时,f(x)∈. 又f(0)=0,所以当λ∈∪∪{0}时,方程f(x)=λ在(-1,1)上有实数解. 5
(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第二章函数2.3指数与指数函数讲义
