(10)、若一直线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内所有直线。
补充:一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的另一条。 3、线面平行的判断:
(2)、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平
面平行。 (5)、两个面内的直线判定定理:
平面平行,其中一个平必平行于另一个平面。
性质定理:
★判断或
⑴ 利用定义(反证法):lI???,则l∥α (用于判断); ⑵ 利用判定定理:线线平行⑶ 利用平面的平行:面面平行2 线面斜交和线面角:l∩ α = A
线面平行 (用于证明);
证明线面平行的方法
线面平行 (用于证明);
⑷ 利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)。 2.1 直线与平面所成的角(简称线面角):若直线与平面斜交,则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。 2.2 线面角的范围:θ∈[0°,90°]
注意:当直线在平面内或者直线平行于平面时,θ=0°;
当直线垂直于平面时,θ=90° 4、线面垂直的判断:
图2-3 线面角
⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面。 ⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。 ⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。 ⒃如果两个平面垂直,那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。 判定定理:
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性质定理:(1)若直线垂直于平面,则它垂直于平面内任意一条直线。
即:
(2)垂直于同一平面的两直线平行。 即:
★判断或证明线面垂直的方法 ⑴ 利用定义,用反证法证明。 ⑵ 利用判定定理证明。
⑶ 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线,则另一条直线也垂直与平面。 ⑷ 一条直线垂直于两平行平面中的一个,则也垂直于另一个。
⑸ 如果两平面垂直,在一平面内有一直线垂直于两平面交线,则该直线垂直于
另一平面。
★1.5 三垂线定理及其逆定理
⑴ 斜线定理:从平面外一点向这个平面所引的所有线段中,
斜线相等则射影相等,斜线越长则射影越长,垂线段最短。 如图:
⑵ 三垂线定理及其逆定理
已知PO⊥α,斜线PA在平面α内的射影为OA,a是平面
图2-7 斜线定理
α内的一条直线。
① 三垂线定理:若a⊥OA,则a⊥PA。即垂直射影则垂直斜线。
② 三垂线定理逆定理:若a⊥PA,则a⊥OA。即垂直斜线则垂直射影。
⑶ 三垂线定理及其逆定理的主要应用 ① 证明异面直线垂直; ② 作出和证明二面角的平面角; ③ 作点到线的垂线段。 5、面面平行的判断:
⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,这两个平面平行。 ⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。 6、面面垂直的判断:
⒂一个平面经过另一个平面的垂线,这两个平面互相垂直。 判定定理:
图2-8 三垂线定理
性质定理:
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⑴ 若两面垂直,则这两个平面的二面角的平面角为
90°; (2)
(3)
(4)
图2-10 面面垂直性质2
(二)、其他定理:
图2-11 面面垂直性质3
(1)确定平面的条件:①不公线的三点;②直线和直线外一点;③相交直线; (2)直线与直线的位置关系: 相交 ; 平行 ; 异面 ;
直线与平面的位置关系: 在平面内 ; 平行 ; 相交(垂直是它的特殊情况) ;
平面与平面的位置关系: 相交 ;; 平行 ;
(3)等角定理:如果两个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等;
如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行,那么这两组直
线所成的锐角(或直角)相等;
(4)射影定理(斜线长、射影长定理):从平面外一点向这个平面所引的垂线段
和斜线段中,射影相等的两条斜线段相等;射影较长的斜线段也较长;反之,斜线段相等的射影相等;斜线段较长的射影也较长;垂线段比任何一条斜线段都短。
(5)最小角定理:斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射
影所成的角。
(6)异面直线的判定: ①反证法;
②过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不过该点的直线是异面直线。 (7)过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内。
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(8)如果—直线平行于两个相交平面,那么这条直线平行于两个平面的交线。
(三)、唯一性定理:
(1)过已知点,有且只能作一直线和已知平面垂直。 (2)过已知平面外一点,有且只能作一平面和已知平面平行。 (3)过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行。
四、空间角的求法:(所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题,尤其是直角三角形)
(1)异面直线所成的角:通过直线的平移,把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角的范围:0o???90o;
(2)线面所成的角:①线面平行或直线在平面内:线面所成的角为0o; ②线面垂直:线面所成的角为90o;
③斜线与平面所成的角:范围0o???90o;即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。
线面所成的角范围0o???90o (3)二面角:关键是找出二面角的平面角。方法有:①定义法;②三垂线定理法;③垂面法;
二面角的平面角的范围:0o???180o; 五、距离的求法:
(1)点点、点线、点面距离:点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长。求它们首先要找到表示距离的线段,然后再计算。
注意:求点到面的距离的方法:
①直接法:直接确定点到平面的垂线段长(垂线段一般在二面角所在的平面上); ②转移法:转化为另一点到该平面的距离(利用线面平行的性质); ③体积法:利用三棱锥体积公式。
(2)线线距离:关于异面直线的距离,常用方法有:
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①定义法,关键是确定出a,b的公垂线段;
②转化为线面距离,即转化为a与过b而平行于a的平面之间的距离,关键是找出或构造出这个平面;③转化为面面距离;
(3)线面、面面距离:线面间距离面面间距离与线线间、点线间距离常常相互转化;
六、常用的结论:
(1)若直线l在平面?内的射影是直线l?,直线m是平面?内经过l的斜足的一条直线,l与l? 所成的角为?1,l?与m所成的角为?2, l与m所成的角为?,则这三个角之间的关系是cos??cos?1cos?2;
(2)如何确定点在平面的射影位置:
①Ⅰ、如果一个角所在平面外一点到角两边距离相等,那么这点在平面上的射
影在这个角的平分线上;
Ⅱ、经过一个角的顶角引这个角所在平面的斜线,如果斜线和这个角的两边
夹角相等,那么斜线上的点在平面上的射影在这个角的平分线所在的直线上;
Ⅲ、如果平面外一点到平面上两点的距离相等,则这一点在平面上的射影在
以这两点为端点的线段的垂直平分线上。
②垂线法:如果过平面外一点的斜线与平面内的一条直线垂直,那么这一点
在这平面上的射影在过斜足且垂直于平面内直线的直线上(三垂线定理和逆定理);
③垂面法:如果两平面互相垂直,那么一个平面内任一点在另一平面上的射
影在这两面的交线上(面面垂直的性质定理);
④整体法:确定点在平面的射影,可先确定过一点的斜线这一整体在平面内的射影。
(3)在四面体ABCD中:
①若AB?CD,BC?AD,则AC?BD;且A在平面BCD上的射影是?BCD的垂心。
②若AB?AC?AD,则A在平面BCD上的射影是?BCD的外心。
③若A到BC,CD,BD边的距离相等,则A在平面BCD上的射影是?BCD的内心。
(4)异面直线上两点间的距离公式:若异面直线所成的角为
E
A’ E’ F
a
?,它们公垂线段AA'的长为d,在a,b上分别取一点E,F,设A'E?m,AF?n;
A ? ? b 10 / 11
则EF?d2?m2?n2?2mncos?
(如果?E'AF为锐角,公式中取负号,如果?E'AF为钝,公式中取
正号)
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高中立体几何知识点总结
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