（10）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 3、线面平行的判断：
（2）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平
面平行。 （5）、两个面内的直线判定定理：
平面平行，其中一个平必平行于另一个平面。
性质定理：
★判断或
⑴ 利用定义(反证法)：lI???，则l∥α (用于判断)； ⑵ 利用判定定理：线线平行⑶ 利用平面的平行：面面平行2 线面斜交和线面角：l∩ α = A
线面平行 (用于证明)；
证明线面平行的方法
线面平行 (用于证明)；
⑷ 利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)。 2.1 直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。 2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°]
注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0°；
当直线垂直于平面时，θ=90° 4、线面垂直的判断：
图2-3 线面角
⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 ⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 ⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⒃如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。 判定定理：
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性质定理：（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。
即：
（2）垂直于同一平面的两直线平行。 即：
★判断或证明线面垂直的方法 ⑴ 利用定义，用反证法证明。 ⑵ 利用判定定理证明。
⑶ 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面。 ⑷ 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个。
⑸ 如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于
另一平面。
★1.5 三垂线定理及其逆定理
⑴ 斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的所有线段中，
斜线相等则射影相等，斜线越长则射影越长，垂线段最短。 如图：
⑵ 三垂线定理及其逆定理
已知PO⊥α，斜线PA在平面α内的射影为OA，a是平面
图2-7 斜线定理
α内的一条直线。
① 三垂线定理：若a⊥OA，则a⊥PA。即垂直射影则垂直斜线。
② 三垂线定理逆定理：若a⊥PA，则a⊥OA。即垂直斜线则垂直射影。
⑶ 三垂线定理及其逆定理的主要应用 ① 证明异面直线垂直； ② 作出和证明二面角的平面角； ③ 作点到线的垂线段。 5、面面平行的判断：
⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。 ⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。 6、面面垂直的判断：
⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。 判定定理：
图2-8 三垂线定理
性质定理：
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⑴ 若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为
90°； （2）
（3）
（4）
图2-10 面面垂直性质2
（二）、其他定理：
图2-11 面面垂直性质3
（1）确定平面的条件：①不公线的三点；②直线和直线外一点；③相交直线； （2）直线与直线的位置关系： 相交 ； 平行 ； 异面 ；
直线与平面的位置关系： 在平面内 ； 平行 ； 相交（垂直是它的特殊情况） ；
平面与平面的位置关系： 相交 ；； 平行 ；
（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；
如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直
线所成的锐角(或直角)相等；
（4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段
和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短。
（5）最小角定理：斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射
影所成的角。
（6）异面直线的判定： ①反证法；
②过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线。 （7）过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内。
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（8）如果—直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线。
（三）、唯一性定理：
（1）过已知点，有且只能作一直线和已知平面垂直。 （2）过已知平面外一点，有且只能作一平面和已知平面平行。 （3）过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行。
四、空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形）
（1）异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角的范围：0o???90o；
（2）线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为0o； ②线面垂直：线面所成的角为90o；
③斜线与平面所成的角：范围0o???90o；即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。
线面所成的角范围0o???90o （3）二面角：关键是找出二面角的平面角。方法有：①定义法；②三垂线定理法；③垂面法；
二面角的平面角的范围：0o???180o； 五、距离的求法：
（1）点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长。求它们首先要找到表示距离的线段，然后再计算。
注意：求点到面的距离的方法：
①直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）； ②转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）； ③体积法：利用三棱锥体积公式。
（2）线线距离：关于异面直线的距离，常用方法有：
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①定义法，关键是确定出a,b的公垂线段；
②转化为线面距离，即转化为a与过b而平行于a的平面之间的距离，关键是找出或构造出这个平面；③转化为面面距离；
（3）线面、面面距离：线面间距离面面间距离与线线间、点线间距离常常相互转化；
六、常用的结论：
（1）若直线l在平面?内的射影是直线l?，直线m是平面?内经过l的斜足的一条直线，l与l? 所成的角为?1，l?与m所成的角为?2, l与m所成的角为?，则这三个角之间的关系是cos??cos?1cos?2；
（2）如何确定点在平面的射影位置：
①Ⅰ、如果一个角所在平面外一点到角两边距离相等，那么这点在平面上的射
影在这个角的平分线上；
Ⅱ、经过一个角的顶角引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角的两边
夹角相等，那么斜线上的点在平面上的射影在这个角的平分线所在的直线上；
Ⅲ、如果平面外一点到平面上两点的距离相等，则这一点在平面上的射影在
以这两点为端点的线段的垂直平分线上。
②垂线法：如果过平面外一点的斜线与平面内的一条直线垂直，那么这一点
在这平面上的射影在过斜足且垂直于平面内直线的直线上(三垂线定理和逆定理)；
③垂面法：如果两平面互相垂直，那么一个平面内任一点在另一平面上的射
影在这两面的交线上(面面垂直的性质定理)；
④整体法：确定点在平面的射影，可先确定过一点的斜线这一整体在平面内的射影。
（3）在四面体ABCD中：
①若AB?CD,BC?AD，则AC?BD；且A在平面BCD上的射影是?BCD的垂心。
②若AB?AC?AD，则A在平面BCD上的射影是?BCD的外心。
③若A到BC,CD,BD边的距离相等，则A在平面BCD上的射影是?BCD的内心。
（4）异面直线上两点间的距离公式：若异面直线所成的角为
E
A’ E’ F
a
?，它们公垂线段AA'的长为d，在a,b上分别取一点E,F，设A'E?m，AF?n；
A ? ? b 10 / 11
则EF?d2?m2?n2?2mncos?
（如果?E'AF为锐角，公式中取负号，如果?E'AF为钝，公式中取
正号）
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高中立体几何知识点总结
