如何解一元二次不等式
在一元二次不等式的解法中，基本解法是先求相应一元二次方程的根，然后画出相应的一元二次函数的草图，最后写出不等式的解集；或转化为一元一次不等式组求解；当然还有判别式、求根法以及配方法等。
例：解不等式：ax?bx?c?0（a?0）。 解法1（解一元二次不等式的一般方法：转化为解二次函数何时大于零）：当??b?4ac?0，方程
22ax2?bx?c?0有两个不相等的实数根?b?b2?4ac?b?b2?4acx1?，x2?，此时抛物
2a2a线y?ax?bx?c（a?0）与x轴有两个交点。（如图）
∴不等式ax?bx?c?0（a?0）的解集是
22?b?b2?4ac?b?b2?4ac{x|x?}； 或x?2a2a当??b?4ac?0，方程ax?bx?c?0有两个相等的实数根x1?x2??22b，此时抛物线2ay?ax2?bx?c（a?0）与x轴只有一个交点。（如图）
∴不等式ax?bx?c?0（a?0）的解集是
2{x|x??b}； 2a22当??b?4ac?0，方程ax?bx?c?0没有实数根，此时抛物线y?ax?bx?c（a?0）与x轴没有交点。（如图）
∴不等式ax?bx?c?0（a?0）的解集是{x|x?R}。
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22b24ac?b2)?解法2（转化为解一元一次不等式组）： ax?bx?c?a(x?， 2a4a2?b?b2?4ac若??0，方程ax?bx?c?0有两个实数根x1?，
2a2?b?b2?4ac2x2?，则ax?bx?c?a(x?x1)(x?x2)?0。
2a∴??x?x1?0?x?x1?0或?， ∴x?x1或x?x2，
?x?x2?0?x?x2?0?b?b2?4ac?b?b2?4ac}； ∴不等式的解集为{x|x?或x?2a2a若??0，方程ax?bx?c?0有两个相等的实数根x1?x2??2b，则 2aax2?bx?c?a(x?2b2bb，即不等式的解集为{x|x??}； )?0。∴x1??2a2a2a2若??0，方程ax?bx?c?0没有实数根，此时ax?bx?c?0恒成立， ∴不等式的解集为{x|x?R}。
b24ac?b2)??0，解法3（转化为解简单的绝对值不等式）： ax?bx?c?a(x? 2a4a2b2b2?4ac)?∴原不等式课化为a(x?。 2a4ab|?若??0，则|x?2ab2?4ac，
2ab2?4ac
2abb2?4acb???∴x?或x?2a2a2a?b?b2?4ac?b?b2?4ac}。 ∴不等式的解集为{x|x?或x?2a2a 2
若??0，原不等式可化为(x?b2b)?0，∴不等式的解集为{x|x??} 2a2a若??0，则不等式的解集为{x|x?R}。
反思：1．由本例知二次函数有三种表达形式：一般式、顶点式、坐标式。即
b24ac?b2f(x)?ax?bx?c，f(x)?a(x?)?，f(x)?a(x?x1)(x?x2)，（a?0），
2a4a2x1、x2是ax2?bx?c?0的两根，何时采用何种情形，应视具体题目而定。
2．解一元二次不等式ax?bx?c?0（或?0），当a?0时，可以采用不等式两边同乘以?1后不等号改变方向，将a?0的情形转化为a?0的情形去解。
3．这三种方法深刻揭示出一元二次不等式与其他知识间的内在联系。二次方程、二次函数、二次不等式三者之间的联系是： 判别式??b?4ac 22??0 有两个不相等的实数根??0 ??0 一元二次方程ax2?bx?c?0（a?0）的根 x1,2?b?b2?4ac?2a有两个相等的实数根x1?x2??b 2a没有实数根 （x1?x2） 二次函数y?ax2?bx?c（a?0）的图像 一元二次不等式
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ax2?bx?c?0（a?0）解集 {x|x?x1或x?x2} {x|x??b} 2aR ax2?bx?c?0（a?0）解集 {x|x1?x?x2} 空集 空集
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