第44讲 数学归纳法
夯实基础 【p94】
【学习目标】
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 【基础检测】
1．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于( )
A．一切正整数命题成立B．一切正奇数命题成立 C．一切正偶数命题成立D．以上都不对
【解析】本题证的是对n＝1，3，5，7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立． 【答案】B
111*
2．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋n＜n(n∈N，n＞1)，第一步应验证不等式
232－1( )
1
A．1＋＜2
211B．1＋＋＜3
23111C．1＋＋＋＜3
23411D．1＋＋＜2
23
【解析】因n≥2，故应验证n＝2，应选D. 【答案】D
3．用数学归纳法证明“2>n＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明n的起始值n0应取________．
【解析】当n＝1时，2＝1＋1；
当n＝2时，2<2＋1；当n＝3时，2<3＋1； 当n＝4时，2<4＋1；而当n＝5时，2>5＋1. ∴n0＝5. 【答案】5
1
4
2
5
2
2
2
3
2
1
2
*
n2
4．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有(Sn－1)＝anSn，通过计算S1，
2
S2，S3，猜想Sn＝________．
122222
【解析】由(S1－1)＝S1，得S1＝；由(S2－1)＝(S2－S1)S2，得S2＝；由(S3－1)＝(S3
233n－S2)S3，得S3＝.猜想：Sn＝.
4n＋1
【答案】
nn＋1
【知识要点】 1．归纳法
由一系列有限的__特殊事例__得出__一般性结论__的推理方法叫做归纳法． 2．数学归纳法
对某些与正整数n有关的数学命题常采用下面的方法来证明它的正确性，先证明当n取第1个值n0时，命题成立；然后假设当n＝k(k∈N，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，这种证明方法叫做__数学归纳法__．
3．数学归纳法证明步骤 (1)数学归纳法的证题步骤
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n取__第一个值n0__时命题成立．
②(归纳递推)假设__n＝k__(k≥n0，k∈N)时命题成立，再证明当__n＝k＋1__时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以判定命题对从__n0__开始的所有正整数n都成立． (2)用框图表示数学归纳法的步骤
验证① n＝n0 时*
假设②__n＝k(k≥n0且k∈N)__时结论成立，
结论成立推得③__n＝k＋1__时结论亦成立
归纳奠基归纳递推 从而命题对从④ n0 开 始的所有n都成立*
*
典例剖析 【p94】
考点1 用数学归纳法证明等式
111
例1设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．用数学归纳法证明：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)
23n
2
＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N)．
【解析】(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，
*
?1?右边＝2?1＋－1?＝1，左边＝右边，等式成立． ?2?
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N)时，结论成立，即
*
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，
那么，当n＝k＋1时，
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)
＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)?f（k＋1）－
??
1?－k k＋1??
＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当n＝k＋1时结论仍然成立．
由(1)(2)可知f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N)．
【点评】用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题，关键在于弄清等式两边的构成规律；等式的两边各有多少项，由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项；难点在于寻求等式中n＝k和n＝k＋1时之间的联系．
*
考点2 用数学归纳法证明不等式
111n*
例2已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N)，用数学归纳法证明：S2n>1＋(n≥2，n∈N*)．
23n2111252
【解析】(1)当n＝2时，S2n＝S4＝1＋＋＋＝>1＋，即n＝2时命题成立；
234122111k*
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N)时命题成立，即S2k＝1＋＋＋…＋k>1＋，
2322则当n＝k＋1时，
S2k＋1＝1＋＋＋…＋k＋
1
2131211＋…＋k＋1 2＋12
kk111
>1＋＋k＋k＋…＋k＋1
22＋12＋22
2>1＋＋kk
22＋2
kkk1k＋1＝1＋＋＝1＋，
222
故当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)和(2)可知，对n≥2，n∈N，不等式S2n>1＋都成立．
2
*
n 3
【点评】用数学归纳法证明不等式应注意的两个问题：
(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．
(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．
考点3 用数学归纳法证明整除性问题
例3设n∈N*，f(n)＝3n＋7n－2. (1)求f(1)，f(2)，f(3)的值；
(2)证明：对任意正整数n，f(n)是8的倍数．
【解析】(1)代入求出f(1)＝8，f(2)＝56，f(3)＝368. (2)①当n＝1时，f(1)＝8是8的倍数，命题成立.
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*
)时命题成立，即f(k)＝3k＋7k－2是8的倍数， 那么当n＝k＋1时，f(k＋1)＝3
k＋1
＋7
k＋1
－2＝3(3k＋7k－2)＋4(7k＋1)，
因为7k＋1是偶数，所以4(7k＋1)是8的倍数， 又由归纳假设知3(3k＋7k－2)是8的倍数， 所以f(k＋1)是8的倍数， 所以当n＝k＋1时，命题也成立． 根据①②知命题对任意n∈N*
成立．
考点4 归纳—猜想—证明
例4已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N＋)． (1)试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式； (2)证明你的猜想，并求出an的表达式． 【解析】(1)∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)， ∴S2
n＝n(Sn－Sn－1)， ∴Sn2
n＝
n2－1
Sn－1(n≥2)．
∵a，∴S43682n1＝11＝a1＝1，S2＝3，S3＝2＝4，S4＝5，猜想Sn＝n＋1.
(2)证明：①当n＝1时，S2×1
1＝1，1＋1＝1等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N2k＋)时，等式成立，即Sk＝
k＋1
. 4
当n＝k＋1时，
Sk＋1＝(k＋1)2·ak＋1＝ak＋1＋Sk＝ak＋1＋
∴ak＋1＝
2k， k＋1
2k12·2＝， k＋1k＋2k（k＋1）（k＋2）
22（k＋1）2（k＋1）22
∴Sk＋1＝(k＋1)·ak＋1＝(k＋1)·＝＝，
（k＋1）（k＋2）k＋2（k＋1）＋1∴n＝k＋1时，等式也成立． 综上①②知，对于任意n∈N＋，Sn＝
2n都成立． n＋1
22
又ak＋1＝，∴an＝. （k＋1）（k＋2）n（n＋1）
【点评】解决数学归纳法中“归纳—猜想—证明”问题及不等式证明时，有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：
(1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难．
(2)证明n＝k到n＝k＋1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成使用的不是纯正的数学归纳法．
(3)不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证．
另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题．
方法总结 【p95】
1．数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法．它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善．
2．证明代数恒等式的关键是第二步，将式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需要的形式——凑结论．
3．用数学归纳法证明不等式的关键是第二步，利用证明不等式的方法(如放缩)把式子化为n＝k＋1成立时的式子．
4．用数学归纳法证明几何问题时，要注意结合几何图形的性质，在求由“n＝k到n＝k＋1”增加的元素个数时，可以先用不完全归纳法找其变化规律．
5．由有限个特殊事例进行归纳、猜想，而得出一般性结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法，研究与正整数有关的数学问题，此方法尤为重要，如猜想数列的通项an或前n项和Sn，解决与自然数有关的探索性、开放性问题等．猜想必须准确，证明必须正确．既用到合情推理，又用到演绎推理．猜想的准确与否可用证明来检验，否则不妨再分析，再猜想，再证明，猜想是证明的前提，证明可论证猜想的可靠性，二者相辅相成．
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(名师导学)2024版高考数学总复习-第44讲数学归纳法练习理(含解析)新人教A版
