第一讲：二次函数与一元二次方程的综合 考试要求
内容 二次函数与一元二次方程综合题 要求 会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 7 中考分值 考察类型 二次函数与一元二次方程 方法策略
1. 熟练掌握二次函数的有关知识点
2. 掌握二次函数与一元二次方程的联系。
2
【例1】 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=（a－1）x+2x+1与x轴有交点，a为正整数. （1）求a的值.
（2）将二次函数y=（a－1）x+2x+1的图象向右平移m个单位， 向下平移m+1个单位，当 －2≤x≤1时，二次函数有最小值－3， 求实数m的值.
27.解：（1）∵二次函数y=（a－1）x+2x+1与x轴有交点， 令y=0，则（a－1）x+2x+1=0，
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例题精讲
y1∴?=4-4(a-1)?0，解得a≤2. …………………………………1分.
∵a为正整数. ∴a=1、2
又∵y=（a－1）x+2x+1是二次函数，∴a－1≠0，∴a≠1， ∴a的值为2. ………………………………………2分
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O1x（2）∵a=2，∴二次函数表达式为y=x2+2x+1，
22
将二次函数y=x+2x+1化成顶点式y=（x+1）
二次函数图象向右平移m个单位，向下平移m2+1个单位
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后的表达式为y=（x+1－m）－（m+1）.
此时函数的顶点坐标为（m－1, －m2－1）. …………………………………4分 当m－1＜－2，即m＜－1时， x=－2时，二次函数有最小值－3， ∴－3=（－1－m）－（m+1），解得m??2
2
27题图
3且符合题目要求. ………………………………5分 22
当 －2≤m－1≤1,即－1≤m≤2,时，当 x= m－1时，二次函数有最小值－m－1=－3，
解得m??2.∵m?-2不符合－1≤m≤2的条件，舍去. ∴m?2.……………………………………6分
当m－1＞1，即m＞2时，当 x=1时，二次函数有最小值－3， ∴－3=（2－m）2－（m2+1），解得m?综上所述，m的值为?3,不符合m＞2的条件舍去. 23或2 ……………………………………7分 222【例2】 已知二次函数y?(k?1)x?(3k?1)x?2．
（1）二次函数的顶点在x轴上，求k的值；
（2）若二次函数与x轴的两个交点A、B均为整数点（坐标为整数的点），当k为整数时，求A、B两点的坐标.
23.解：（1）方法一∵二次函数顶点在x轴上，
∴b-4ac=0，且a≠0 ……………………1分 即
2?3a?1??4?2?k2?1??0，且k2-1≠0
2k=3 ……………………3分
（2）∵二次函数与x轴有两个交点，
∴b-4ac＞0，且a≠0． ……………………４分 即（k-3）＞0，且k≠±1． 当k22?3且k??1时，即可行．
∵A、B两点均为整数点，且k为整数
（3k-1）（+k-3）3k-1+k-34k-42∴x1= ===2（k2-1）2（k2-1）2（k2-1）k+1（3k-1）-（k-3）3k-1-k+32k+21……………………5分 x2====2222（k-1）2（k-1）2（k-1）k-1当k=0时，可使x1，x2均为整数，
∴当k=0时，A、B两点坐标为(-10)……………………6分 ，0)和(2，【例3】 已知：关于x的一元二次方程－x+(m+1)x+(m+2)=0（m＞0）．
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；
（2）当抛物线y=－x+(m+1)x+(m+2)经过点（3，0），求该抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，记抛物线y=－x+(m+1)x+(m+2)在第一象限之间的部分为图象G，如果直线
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y=k(x+1)+4与图象G有公共点，请结合函数的图象，求直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐
标t的取值范围．
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y分
（1）证明：∵ △= (m+1)－4×(－1)×(m+2)
2
=(m+3). ……………………………………………………………1∵ m＞0，
2
∴ (m+3)＞0， 即 △＞0，
∴ 原方程有两个不相等的实数根. …………………………………2
2
（2）解：∵ 抛物线抛物线y=－x+(m+1)x+(m+2)经过点（3，0），
2
∴ －3+3(m+1)+(m+2)=0，………………………………………………3∴ m=1. O2
∴ y=－x+2x+3. ………………………………………………………4
22
（3）解：∵ y=－x+2x+3=－(x－1)+4，
∴ 该抛物线的顶点为（1，4）.
∴ 当直线y=k(x+1)+4经过顶点（1，4）时， ∴ 4=k(1+1)+4， ∴ k=0，
分 分 分
x∴ y=4.
∴ 此时直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标为4. ………………………5分
2
∵ y=－x+2x+3， ∴ 当x=0时，y=3，
∴ 该抛物线与y轴的交点为（0，3）.
∴ 此时直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标为3. ………………………6分 ∴ 3＜t≤4. …………………………………………………………………7分
22x?(5m?1)x?4m?m?0.
【例4】 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两个实数根一个大于3，另一个小于8，求m的取值范围；
22y??x?(5m?1)x?4m?m与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），现坐标系内有
（3）抛物线
一矩形OCDE，如图11，点C（0，－5)，D（6，－5) ，E（6，0),当m取第（2）问中符合题意的最小整数时，将此抛物线上下平移
h个单位，使平移后的抛物线与矩形OCDE有两个交点，请结合图形写出h的取值或取值范围（直接写出答案即可）．
.解：(1)证明： Δ=[?(5m?1)]?4?1?(4m?m)………………1分 =9m?6m?1 =(3m?1)
∵ (3m?1)≥0， ………………2分 ∴ 无论m取何实数时，原方程总有两个实数根.
（2） 解关于x的一元二次方程x?(5m?1)x?4m?m?0，
得 x1?m,x2?4m?1. ………………3分
2222222由题意得 ??m?3?m?8………………4分 或??4m?1?8?4m?1?31?m?8. ………………5分 2（3）h?5或?4?h??9 . ……………7分
解得
逆袭训练
1. 已知关于x的方程mx－(3m－1)x+2m－2=0 （1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．
（2）若关于x的二次函数y= mx－(3m－1)x+2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求二次函
数的表达式．
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.解：(1)△=9m2－6m+1－8m2+8m=m2+2m+1，
=（m+1）2；
∴△=（m+1）2≥0，………………………………………….(1分)
中考数学二轮复习二次函数与一元二次方程的综合
