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计时）．图中折线OABC、线段DE分别表示甲、乙两车所行路程y（km）与时间x（h）之间的函数关系对应的图象（线段AB表示甲车出发不足2h因故障停车检修）．请根据图象所提供的信息，解决以下问题： （1）求乙车所行路程y与时间x之间的函数关系式； （2）求两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程；
（3）乙车出发多长时间，两车在途中第一次相遇．（写出解题过程）
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）由图可看出，乙车所行路程y与时间x的成一次函数，使用待定系数法可求得一次函数关系式；
（2）由图可得，交点F表示第二次相遇，F点横坐标为6，代入（1）中的函数即可求得距出发地的路程； （3）交点P表示第一次相遇，即甲车故障停车检修时相遇，点P的横坐标表示时间，纵坐标表示离出发地的距离，要求时间，则需要把点P的纵坐标先求出；从图中看出，点P的纵坐标与点B的纵坐标相等，而点B在线段BC上，BC对应的函数关系可通过待定系数法求解，点B的横坐标已知，则纵坐标可求． 【解答】解：（1）设乙车所行路程y与时间x的函数关系式为y=k1x+b1， 把（2，0）和（10，480）代入， 得
，解得
，
∴y与x的函数关系式为y=60x﹣120；
（2）由图可得，交点F表示第二次相遇， 而F点横坐标为6，此时y=60×6﹣120=240， ∴F点坐标为（6，240），
∴两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程为240千米；
（3）设线段BC对应的函数关系式为y=k2x+b2， 把（6，240）、（8，480）代入， 得
，
解得，
∴y与x的函数关系式为y=120x﹣480，
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∴当x=4.5时，y=120×4.5﹣480=60． ∴点B的纵坐标为60， ∵AB表示因故停车检修， ∴交点P的纵坐标为60， 把y=60代入y=60x﹣120中， 有60=60x﹣120， 解得x=3，
∴交点P的坐标为（3，60）， ∵交点P表示第一次相遇，
∴乙车出发3﹣2=1小时，两车在途中第一次相遇．
【点评】本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从坐标系中提取信息的能力，是道综合性较强的代数应用题，对学生能力要求比较高．
24．已知，在平行四边形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°．动点P从O点出发沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q从A点出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t秒．
（1）求经过O，A，C三点的抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上找一点M使△MAC的周长最小，求出点M的坐标； （3）试求出当t为何值时，△OAC与△PAQ相似；
（4）是否存在某一时刻，使△PAQ为等腰三角形？若能，请直接写出t的所有可能的值；若不能，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）过C点作x轴的垂线，垂足为D点，由已知条件利用勾股定理求AC，利用面积法求CD，利用勾股定理求OD，确定C点坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）如图抛物线对称轴与直线OC的交点就是点M，此时△MAC周长最小，求出直线OC解析式，即可解决问题．
（3）根据P点是否在线段OA上分类：当0≤t≤2.5时，和当t＞2.5时，判断相似是否成立，利用相似比求符合条件的t的值；
（4）当P点在线段OA上，在A点的左侧时AP=AQ，求出t即可，当P在A点的右侧AP=AQ时．求出t即可．点P在A右侧：QA=QP时，求出t即可，点P在A右侧：PA=PQ时，求出t即可．
【解答】解：（1）过C点作x轴的垂线，垂足为D点，在平行四边形OABC中，由OA=5，AB=4，∠OCA=90°，
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得AC=3，
由面积法，得CD×OA=OC×AC， 解得CD=
=
，
=
，
在Rt△OCD中，由勾股定理得OD=∴C（
，
），
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
则，解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣
x+
2
x．
（2）如图抛物线对称轴与直线OC的交点就是点M，此时△MAC周长最小． ∵直线OC解析式为y=x， 抛物线y=﹣
x2+
x，的对称轴为x=， ）．
∴点M坐标为（，
（3）当0≤t≤2.5时，P在OA上，∠OAQ≠90°， 故此时△OAC与△PAQ不可能相似． 当t＞2.5时，
①若∠APQ=90°，则△AQP∽△OAC， 故∴∴t=
=
=， =， ，
∵t＞2.5， ∴t=
符合条件．
②若∠AQP=90°，则△APQ∽△OAC， 故∴
=
=， =，
..
..
∴t=，
∵t＞2.5， ∴t=
符合条件．
或
时，△OAC与△APQ相似．
综上可知，当t=
（4）有四种情况：
①点P在A左侧：AP=AQ时，t=5﹣2t，解得t=， ②点P在A右侧：AP=AQ时，2t﹣5=t，解得t=5， ③点P在A右侧：QA=QP时，（2t﹣5）=t，解得t=④点P在A右侧：PA=PQ时，（2t﹣5）=t，解得t=
， ．
【点评】本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用勾股定理，面积法，相似三角形的性质解题，学会分类讨论，学会把问题转化为方程的思想解决问题，属于中考压轴题．
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2020届中考复习黄冈中学中考数学二模试题（有配套答案）
