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18．现有形状、大小、颜色完全一样的三张卡片，上面分别标有数字“1”、“2”、“3”，第一次从这三张卡片中随机抽取一张，记下数字后放回；第二次在从这三张卡片中随机抽取一张并记下数字．请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能的结果，并求第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率． 【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有等可能的结果与第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的情况，然后由概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的有3种情况， ∴第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率为： =．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
19．为了了解江城中学学生的身高情况，随机对该校男生、女生的身高进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，根据所得数据绘制成如图所示的统计图表．
组别 A B C D E
身高（cm） x＜150 150≤x＜155 155≤x＜160 160≤x＜165 x≥165
根据图表中信息，回答下列问题：
（1）在样本中，男生身高的中位数落在 D 组（填组别序号），女生身高在B组的人数有 12 人；
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（2）在样本中，身高在150≤x＜155之间的人数共有 16 人，身高人数最多的在 C 组（填组别序号）； （3）已知该校共有男生500人，女生480人，请估计身高在155≤x＜165之间的学生约有多少人？ 【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；中位数． 【分析】（1）根据中位数的定义解答即可； （2）将位于这一小组内的频数相加即可求得结果； （3）分别用男、女生的人数，相加即可得解．
【解答】解：（1）∵在样本中，共有2+4+8+12+14=40人， ∴中位数是第20和第21人的平均数， ∴男生身高的中位数落在D组，
女生身高在B组的人数有40×（1﹣30%﹣20%﹣15%﹣5%）=12人；
（2）在样本中，身高在150≤x＜155之间的人数共有4+12=16人，身高人数最多的在C组； （3）500×
+480×（30%+15%）=541（人），
故估计身高在155≤x＜165之间的学生约有541人． 故答案为：D，12；16，C．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
20．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC=1：2． （1）求证：AC平分∠BAD；
（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由．
【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质． 【专题】综合题．
【分析】（1）连接OC，证明OC∥AE．由此可得∠CAD=∠OCA，再证明∠OCA=∠OAC即可． （2）因为：证明△PCA与△PBC相似，由其性质可推出AB与PB的数量关系． 【解答】（1）证明：连接OC．如下图所示：
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∵PE与⊙O相切， ∴OC⊥PE． ∴∠OCP=90°． ∵AE⊥PE，
∴∠AEP=90°=∠OCP． ∴OC∥AE． ∴∠CAD=∠OCA． ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠OAC． ∴∠CAD=∠OAC． ∴AC平分∠BAD．
（2）PB，AB之间的数量关系为AB=3PB．理由如下： ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°． ∴∠BAC+∠ABC=90°． ∵OB=OC， ∴∠OCB=∠ABC． ∵∠PCB+∠OCB=90°， ∴∠PCB=∠PAC． ∵∠P=∠P， ∴△PCA∽△PBC． ∴PC2=PB?PA． ∵PB：PC=1：2， ∴PC=2PB． ∴PA=4PB． ∴AB=3PB．
【点评】本题考查了切线的性质与相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解圆的切线的性质与综合各知识点联系．
21．某日，中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛（设M、N为该岛的东西两端点）最近
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距离为12海里（即MC=12海里），在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向：航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东60°方向，（其中N，M，C在同一条直线上），求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离．（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】在直角△ACM，∠CAM=45度，则△ACM是等腰直角三角形，即可求得AC的长，则BC可以求得，然后在直角△BCN中，利用三角函数求得AN，根据MN=CN﹣CM即可求解． 【解答】解：在直角△ACM，∠CAM=45度，则△ACM是等腰直角三角形， 则AC=CM=12（海里），
∴BC=AC﹣AB=12﹣4=8（海里）， 直角△BCN中，CN=BC?tan∠CBN=∴MN=CN﹣CM=（8
﹣12）海里．
﹣12）海里．
BC=8
（海里），
答：钓鱼岛东西两端点MN之间的距离是（8
【点评】本题考查了三角函数，正确求得BC的长度是关键．
22．如图，点P（（1）求k的值；
（2）若正方形ABCD的顶点C，D在双曲线y=（x＞0）上，顶点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上，求点C的坐标．
+1，
﹣1）在双曲线y=（x＞0）上．
【考点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）将点P的坐标代入双曲线解析式中解答即可；
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（2）过点D作DE⊥OA于点E，过点C作CF⊥OB于点F，易证得△CFB≌△BOA≌△AED，易得C（b，a+b），D（a+b，a），继而求得a的值，则可求得点C的坐标； 【解答】解：（1）点P（将x=k=2；
，y=
，
）在双曲线
上，
代入解析式可得：
（2）过点D作DE⊥OA于点E，过点C作CF⊥OB于点F，
∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=BC，∠CBA=90°， ∴∠FBC+∠OBA=90°， ∵∠CFB=∠BOA=90°， ∴∠FCB+∠FBC=90°， ∴∠FBC=∠OAB， 在△CFB和△AOB中，
，
∴△CFB≌△AOB（AAS）， 同理可得：△BOA≌△AED≌△CFB， ∴CF=OB=AE=b，BF=OA=DE=a， 设A（a，0），B（0，b）， 则D（a+b，a）C（b，a+b）， 可得：b（a+b）=2，a（a+b）=2， 解得：a=b=1．
所以点C的坐标为：（1，2）．
【点评】此题属于反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，综合性很强，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
23．甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480km的目的地，乙车比甲车晚出发2h（从甲车出发时开始
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2020届中考复习黄冈中学中考数学二模试题（有配套答案）
