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【最后十套】2019届高考名校考前提分仿真卷
理科数学答案（八）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】
1?2i?1?2i???2?i??5i?2?i???2?i???2?i??5??i，故选C． 2．【答案】C
【解析】∵ln?x?1??0，解得x?0，∴M??xx?0?， 又∵N??x?2?x?2?，∴MN??0,2?．故选C．
3．【答案】A
【解析】函数y?x2?lnx是偶函数，排除选项B、C， 当x?1e时，y?1e2?1?0，x?0时，函数是增函数，排除D．故选A． 4．【答案】C
【解析】∵a?2b??7,1?，∴??m?6?7，得m?n?1，∴?3?2n?1mn?1．故选C．
5．【答案】A
【解析】由表可知：a?30，b?15，c?45，d?10，n?100， 则K2?100??30?10?15?45?244?55?75?25?3.030?3.841，
故没有95%把握认为使用哪款手机与性别有关，故选A． 6．【答案】C
【解析】由题意可设双曲线C的右焦点F?c,0?，渐进线的方程为y??bax，
可得d?bc?b?2a，可得c?a2?b2?5aa2?b2，可得离心率e?ca?5，故选C． 7．【答案】B
【解析】由正弦定理可得：
bcsinB?sinC，
即
bc?sinBsinC?sin2CsinC?2sinCcosCsinC?2cosC?273?cosC?73， ∴cos2C?2cos2C?1?2?79?1?59，故选B．
8．【答案】B 【解析】由s2??x1?x?2??x2?x?2??????xn?x?2n
2?x1?x22?????x2n?2?x1?x2?????xn?x?nx2nx21?x22?????x2n?2nx2?nx2?x21?x22?????x2?nn?x2n，
2循环退出时i?11，知x2???A?222?i?1??．∴B?A1?A2?????A10，
故程序框图①中要补充的语句是B?B?A2i．故选B． 9．【答案】B
【解析】在图1中连接DE，EC，
∵AB?BC?CD?DA?AC?BD，得△DEC为等腰三角形，
设空间四边形ABCD的边长为2，即AB?BC?CD?DA?AC?BD?2， 在△DEC中，DE?EC?3，CF?1，得EF?2．
图1
图2
在图2取AD的中点M，连接MF、EM，∵E、F分别是AB、CD的中点， ∴MF?1，EM?1，?EFM是异面直线AC与EF所成的角． 222在△EMF中可由余弦定理得cos?EFM?FE?MF?ME?2?2?1?12FE?MF?22?22， ∴?EFM?45?，即异面直线所成的角为45?．故选B． 10．【答案】C
【解析】当x?ππ4时，wx?4?π4w?π4，当x?0，wx?ππ4?4，
∵在???0,π?4??只有一条对称轴，可知π2?π4w?π4?3π2，解得w??1,5?，故选C．
11．【答案】B
∵点Fx2y2【解析】1，F2分别为椭圆C:9?5?1的左、右焦点；
即F1??2,0?，F2?2,0?，a2?9，b2?5，c2?4，c?2， 设P?x0,y0?，PF1???2?x0,?y0?，PF2??2?x0,?y0?，
由PF1?PF2?m可得x02?y02?m?4，
又∵P在椭圆上，即x2209?y05?1，∴x29m?90?4， 要使得PFm成立的点恰好是4个，则0?9m?91?PF2?4?9，解得1?m?5，
∴m的值可以是3．故选B． 12．【答案】C
【解析】∵f?x??2x2x?1，∴当x?0时，f?x??0，当x?0时，f?x??2?2， ?1?x?1?2?1??4由0?x?1，∴0?f?x??1，故0?f?x??1，
又∵g?x??ax?5?2a?a?0?，且g?0??5?2a，g?1??5?a．故5?2a?g?x??5?a． ∵对于任意x1??0,1?，总存在x0??0,1?，使得g?x0??f?x1?成立， ∴f?x?在?0,1?的值域是g?x?在?0,1?的值域的子集，∴须满足??5?2a?0?5?a?1，
∴52?a?4，a的取值范围是?5??2,4???，故选C．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】8
?x?y?1?【解析】画出不等式组?0?2x?y?0表示的平面区域，如图阴影部分所示，
??x?2
由图形知，当目标函数z?2x?3y过点A时，z取得最小值；
由??x?y?1?0?2x?y?0，求得A?1,2?；∴z?2x?3y的最小值是2?1?3?2?8．故答案为8．
14．【答案】2x?y?1?0 【解析】∵y?x?1x?1，∴y???2?x?1?2， 当x?3时，y'??12，即曲线y?x?11x?1在点?3,2?处的切线斜率为?2，
∴与曲线y?x?1x?1在点?3,2?处的切线垂直的直线的斜率为2， ∵直线过点?0,1?，∴所求直线方程为y?1?2x，即2x?y?1?0．故答案为2x?y?1?0． 15．【答案】?1
【解析】∵sin??cos?sin??cos?tan?11?3cos2??sin2??4cos2??tan2??4?4，∴tan??2， 又tan??????tan??tan?1?tan?tan??2?tan?1?2tan??13，解得tan???1．故答案为?1．
16．【答案】34π
【解析】由题意，在三棱锥D?ABC中，CD?底面ABC，AC?BC，AB?BD?5，BC?4，可得AD?CD?52?42?3，
32?422故三棱锥D?ABC的外接球的半径?32R?2?342，则其表面积为4π???34???2???34π．?
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． n17．【答案】（1）a2n?2n?n?N*?；（2）S?1?n?n???2???1．
【解析】（1）设等比数列?an?的公比为q，
∵a1，a2，a3?2成等差数列，∴2a2?a1??a3?2??2??a3?2??a3，
∴q?a3?2?an?1nan?a1q?2n?N*?． 2?nn（2）∵b1?1n?a?2log1??????2log1???1?2an?22n??2???2n?1， n?22∴S?1???1????1?3???1?n?n???2?1??????2???3???????5???????????2???????2????2n?1??
??????2?1????2?1?2?2?????1?3?2?????????1???2??????1?3?5??????2n?1????? 1??2?1??1?n?????2??????n???1??2n?1???n?n2??1?1?12??2???1?n?N*?．
218．【答案】（1）1.29%；（2）（i）y??21.3x?14.4，（ii）见解析．
【解析】（1）由已知，单个“南澳牡蛎”质量?～N?32,16?，则??32，??4， 由正态分布的对称性可知，
P???20??12??1?P?20???44????12??1?P???3??????3?????12?1?0.9974??0.0013， 设购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于20g的牡蛎为X只，故X～B?10,0.0013?，故
P?X?1??1?P?X?0??1??1?0.0013?10?1?0.9871?0.0129，
∴这10只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性仅为1.29%． 77（2）（i）由t?2.5，y?38.9，
??t2i?t??yi?y??81.0，?3.8，
i?1??ti?t?i?1有b???7i?1?ti?t??yi?y??7?81.03.8?21.3，且a??y?bx??38.9?21.3?2.5??14.4， i?1?ti?t?2∴模型②中y关于x的回归方程为y??21.3x?14.4． （ii）由表格中的数据，有182.4?79.2，即
182.42?72i?1?yi?y??79.2?72模型①的R小于模型②，
i?1?yi?y?说明回归模型②刻画的拟合效果更好．
当x?16时，模型②的收益增量的预测值为y??21.3?16?14.4?21.3?4?14.4?70.8（万元），
这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠． 19．【答案】（1）见解析；（2）15．
【解析】（1）∵四边形ABCD为菱形，?BAD?120?，连结AC，则△ACD为等边三角形，
又∵M为CD中点，∴AM?CD，由CD∥AB，∴AM?AB， ∵AA1?底面ABCD，AM?底面ABCD，∴AM?AA1， 又∵ABAA1?A，∴AM?平面AA1B1B．
（2）∵四边形ABCD为菱形，?BAD?120?，AB?AA1?2A1B1?2， ∴DM?1，AM?3，∴?AMD??BAM?90?， 又∵AA1?底面ABCD，
分别以AB，AM，AA1为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz，
A2,0,0?、D??1,3,0?、D?1,3?1?0,0,2?、B?1????22,2??，
?∴DD?131???2,?,2???，BD??3,3,0，A?2???1B??2,0,?2?， 设平面A1BD的一个法向量n??x,y,z?，
则有???n?BD?0?????3x?3y?0?y?3x?3z，令x?1，则n?1,3,1，
??n?A1B?0??2x?2z?0??∴直线DD1与平面A1BD所成角?的正弦值sin??cosn,DD1?n?DD1n?DD?115． 20．【答案】（1）y2?2x；（2）
?2?1,???．
【解析】（1）设点P?x,y?，则Q??2,y?，∴OP??x,y?，OQ???2,y?． ∵OP?OQ?0，∴OP?OQ??2x?y2?0，即y2?2x．
（2）设A?x1,y1?，B?x2,y2?，D?x3,y3?，直线BD与x轴交点为E，直线AB与内切圆的切点为T．
设直线AM的方程为y?k???x?1??2??，则联立方程组??y?k???x?1??得?kx??k?2?x?k22?222?0， ?y2?2x4∴x11x2?4且0?x1y1?x2，∴x1?2?x2，∴直线AN的方程为y?1?x?1?x1??， 1??2?2与方程y2?2x联立得y2x2??1?11??y21?2x21?2x1?2??x?4y21?0，
化简得2xx2??21?111??2x1?2??x?2x1?0，解得x?4x或x?x1．
1∵x3?14x?x2，∴BD?x轴， 1设△MBD的内切圆圆心为H，则点H在x轴上且HT?AB． 2∴S?1???x?1??2y△MBD的周长2???x1?△MBD22，且22?2?2?2???y2?2y2， ∴S△MBD?1?2??2??x1?2?y2?1?1?2??2?2y2??r???x2???2y2， ??2???2?2???1?∴r??x2?2??y22?1?1，
y?x1?212??2???y?11?2?2x12?y2?1?22x?1122?2?2?1?x1?2?2????x1?2?2?x?2?2令t?x?12，则t?1，∴r?121在区间?1,???上单调递增，
2t?1?11t2?t则r?12?1?2?1，即r的取值范围为
?2?1,???．
21．【答案】（1）g?x?的单调递增区间为?0,1?，单调递减区间为?1,???；（2）见解析；（3）0?a?e． 【解析】（1）g??x??1?1x?2x???2x?1??x?1?x，
当x??0,1?时，g??x??0，g?x?递增，当x??1,???时，g??x??0，g?x?递减， 故g?x?的单调递增区间为?0,1?，单调递减区间为?1,???．
（2）x?0是f?x?的一个零点，当x?0时，由f?x??0得，a?exex?x?1?x?F?x?，F??x??x2， 当x????,0?时，F?x?递减且F?x??0，
当x?0时，F?x??0，且x??0,1?时，F?x?递减， 当x??1,???时，F?x?递增，故F?x?min?F?1??e，
大致图像如图，
∴当0?a?e时，f?x?有1个零点；当a?e或a?0时，f?x?有2个零点； 当a?e时，f?x?有3个零点．
（3）h?x??f?x??ag?x??xex?alnx?ax?a?e，
h??x???x?1?ex?a?x?1???x?1???a?x?ex?x??，a?0，
设h??x??0的根为x?a0，即有ex0x，可得x0?lna?lnx0， 0当x??0,x0?时，h??x??0，h?x?递减，当x??x0,???时，h??x??0，h?x?递增， h?x?0min?h?x0??x0ex?alnxa0?ax0?a?e?x0x?a?x0?lna??ax0?a?e?e?alna?0， 0∴0?a?e．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）?x?2?2??y?1?2?9；（2）y?34x和x?0． 【解析】（1）将??x??cos??y??sin?代入曲线C极坐标方程得：
曲线C的直角坐标方程为x2?y2?4?4x?2y，即?x?2?2??y?1?2?9． （2）将直线l的参数方程代入曲线方程：?tcos??2?2??tsin??1?2?9， 整理得t2??4cos??2sin??t?4?0，
设点A，B对应的参数为t1，t2，解得t1?t2?4cos??2sin?，t1t2??4， 则AB?t1?t2??t21?t2??4t1t2??4cos??2sin??2?16?25?3cos2??4sin?cos??0，
∵0???π，∴??π33和tan??，∴直线l的普通方程为y?x和x?0． 2444?（2）?m0?m?2?． ?；3??23．【答案】（1）?x0?x??1?2?3x,x??2?1??x?1， 【解析】（1）当m?1时，f?x??x?1?2x?1，∴f?x???x,2?x?1?3x?2,???4?f?x??2即求不同区间对应解集，∴f?x??2的解集为?x0?x??．
3??（2）由题意，f?x??3?x对任意的x??0,1?恒成立， 即x?m?3?x?2x?1对任意的x??0,1?恒成立， 1?x?2,0?x???2令g?x??3?x?2x?1??，
1?4?3x,?x?1??2∴函数y?x?m的图象应该恒在g?x?的下方，数形结合可得0?m?2．
2019年高考数学考前提分仿真试题（八）理
