2024全国研究生招生考试数学二真题及答案解析
一、选择题
1.当x?0时,若x?tanx与x是同阶无穷小,则k? A.1. C.3. 2.
B.2. D.4.
的拐点
ky?xsinx?2cosx（0?x?2?）B.?0,2?
?????,?A.?22?
C.??,2?
3.下列反常积分收敛的是（） A.
???3?3??,?2D.?2?x???
??0??xedx B.
???0??xedx?x2
C.
0arctanxdx21?x
D.
?0xdx21?x
x-xx???已知y?ay?by?ce的通解为y?(C?Cx)e?e,则a,b,c 124.
的值为（ ）
A.1,0,1 B.1,0,2 C.2,1,3 D.2,1,4
???D?（|x?y???x,y）I1???2??D5.已知积分区域,
A.C.
x2?y2dxdyI2???sinx2?y2dxdyI3????1?cosx2?y2)dxdy,
D,
D,试比较
I1,I2,I3的大小
I3?I2?I1I2?I1?I3
B.D.
I1?I2?I3I2?I3?I1
x?a6.已知f(x)g(x)是二阶可导且在x?a处连续,请问f(x)g(x)相切于a且曲率相等是
limf(x)?g(x)?02(x?a)的什么条件？
A.充分非必要条件
C.必要非充分条件
*
B.充分必要条件
D.既非充分又非必要条件
*
7.设A是四阶矩阵,A是A的伴随矩阵,若线性方程组Ax?0的基础解系中只有2个向量,则A的秩是 A.0 C.2
B.1 D.3
T2A?48.设A是3阶实对称矩阵,E是3阶单位矩阵,若A?A?2E,且,则二次型xAx的规范形为 22y12?y2?y322y12?y2?y322y12?y2?y3A.C.
B.D.
22?y12?y2?y3二、填空题
9.x??lim(x?2)?2xx
?x?t?sint3?t??y?1?cost在2对应点处切线在y轴上的截距为 10.曲线??z?zy22x?y?z?yf()f(u)?x?yx,则11.设函数可导,
y?lncos（x0?x?12. 设函数
?）6的弧长为
13. 已知函数
f(x)?x?xtsint21dtf(x)dx?t,则?0
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?1??2A???3??014.已知矩阵
?100??1?11??22?1??A?A12?A034?Aij,表示中(i,j)元的代数余子式,则11
三、解答题：15~23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分10分）
?x2xx?0f(x)??x?xe?1x?0,求已知函数
16.（本题满分10分）
f'(x)并求f(x)的极值
3x?6dx.?22求不定积分(x?1)(x?x?1)
17.（本题满分10分）
y?y(x)是微分方程y'?xy?2（1）求
1xex22满足条件y(1)?e的特解.
y(x)
（2）设平面区域
?x,y）D?（1?x?2,0?y?y(x)??y23,求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
18.（本题满分10分）
??x,y?|?x已知平面区域D满足
19.（本题满分10分） 20.（本题满分11分）
2??y4?,求
??Dx?ydxdy.22x?y
Sn.n?N?,Sn是f(x)?e?xsinx的图像与x轴所谓图形的面积,求Sn,并求limn??
?2u?2u?u?u22?22?3?3?0,ax?byu(x,y)v(x,y)不含一阶偏导数的u(x,y)?v(x,y)e?x?y?x?ya,b已知函数满足求的值,使得在变换下,上述等式可化为
等式.
21.（本题满分11分）
已知函数f(x,y)在?0,1?上具有二阶导数,且
'f??(0,1)（1）存在,使得(?)?0； ''f??(0,1)（2）存在,使得(?)??2.
f(0)?0,f(1)?1,?f(x)dx?101,证明：
22.（本题满分11分）
?1??1??1?????0????2??1??1??2??3??2????4??,?4??,?a?3??, 已知向量组（Ⅰ）
?1??0??1?????2????3??1??1??2??3??2????a?3??,?1?a??,?a?3??,若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价,求a的取值,并将?用?1,?2,?3线性表示. （Ⅱ）
23.（本题满分11分）
??2?21??210?????A??2x?2?与B?0?10?相似?0?00y?0?2?????已知矩阵
（1）求x,y,
（2）求可逆矩阵P,使得PAP?B
?1
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2024年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题解析（数学二）
1.C 9.
2.C
3.D
4.D
5.A
6.C
7.A
8.C
4e2
10. 11. 12.
13. 14. 15.解：
3??22 z 1ln32 1(cos1?1)4 ?4
f??x???x2x????e2xlnx???e2xlnx?2lnx?2?=x2x?2lnx?2?f??x???xex?1???ex?xex??1?x?ex,
.
当x?0时,当x?0时,当x=0时,
.
f?0??1x2x?1e2xlnx?12xlnxf???0??lim?lim?lim???x?0?x?0?x?0?xxx, xex?1?1xf???0??lim?lime?1?x?0?x?0x.
2x??x?2lnx?2? x?0f??x?=?1?x?exx?0???故.
令
f??x?=0,得
x1?e?1,x2??1.
单调递减,
（1）当当
x??0,e?1?,f??x??0,f?x?x??e?1，+??,f??x??0,f?x?2e单调递增,
?1?f?e?1?=???e?为极小值. 故
（2）当当故
x??-1，0?,f??x??0,f?x?单调递增,
x??0,e?1?,f??x??0,f?x?单调递减,
f?0?=1为极大值.
单调递减,
（3）当当故
x????,?1?,f??x??0,f?x?x??-1，0?,f??x??0,f?x?f??1?=?e?1?1为极小值.
单调递增,
16.17.
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18.
I=??d??43?4sin2?03??rsin?1315rdr???4sin?d?????4sin4?dcos?r24243??21312????4?1?cos??dcos?????4?1?2cos2??cos4??dcos?2424?
432120
19.20.解：
u?x,y??v?x,y?eax?by
?u?vax?by?e?aveax?by?x?x?u?vax?by?e?bveax?by?y?y?2u?2vax?by?vax?by?vax?by2ax?by?e?ae?ae?ave?x2?x2?x?x?2u?2vax?by?vax?by?vax?by?e?be?be?b2veax?by22?y?y?y?y,
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3?a????4??4a?3?0?b?3?3?4b?0,解得??4. 带入得?21.
22.解：
1101??11??102123??1,?2,?3,?1,?2,?3?????22??44a+3a?31?aa+3??1101??11?0?1?1022??22??00a?1a?11?aa?1??
2r??1,?2,?3??3,r??1,?2,?3??3?=???2+?3a（1）当?1?0,即a??1时,,此时两个向量组必然等价,且31.
?111101??0?11022??1,?2,?3,?1,?2,?3???????000000?? （2）当a=1时,
此时两个向量组等价,
?3=??2k?3??1??k?2??2+k?3.
?111101??0?11022??1,?2,?3,?1,?2,?3???????000?220??. （3）当a=?1时,
此时两个向量组不等价.
?x?4?y?1?x?3??A?B4x?8??2yy??2 tr(A)?tr(B)23.（1）A与B相似,则,,即?,解得?（2）A的特征值与对应的特征向量分别为
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