专题04 面积问题
求解平面直角坐标系中由动点生成的图形的面积问题，是初中数学一种重要的题型，它主要结合函数图形的相关知识点，在平面直角坐标中的框架中构建图形求面积，求图形面积常常转化为三角形、特殊的四边形，求面积常用的方法有以下几种：
方法1：直接法，求出三角形底边和底边上的高，进而求出其面积；
方法2：补形法，将三角形面积转化为若干个特殊的四边形和三角形的和或差； 方法3：分割法，选择一种恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算的面积的三角形。 一、填空题
1．在平面直角坐标系中，A(2,0)，B(0,3)，若?ABC的面积为6，且点C在坐标轴上，则符合条件的点
C的坐标为__________．
【答案】??2,0?或?6,0?或?0,?3?或?0,9? 【解析】解：①如图所示，若点C在x轴上，且在点A的左侧时， ∵B(0,3) ∴OB=3 ∴S△ABC=
1AC·OB=6 解得：AC=4 2∵A(2,0) ，∴此时点C的坐标为：??2,0?；
②如图所示，若点C在x轴上，且在点A的右侧时，同理可得：AC=4 ∴此时点C的坐标为：?6,0?；
图 ① 图 ②
③如图所示，若点C在y轴上，且在点B的下方时， ∵A(2,0) ∴AO=2 ∴S△ABC=
1BC·AO=6 解得：BC=6 2∵B(0,3) ∴此时点C的坐标为：?0,?3?；
1
④如图所示，若点C在y轴上，且在点B的上方时，
同理可得：BC=6 ∴此时点C的坐标为：?0,9?. 故答案为：??2,0?或?6,0?或?0,?3?或?0,9?.
图 ③ 图 ④ 【点拨】此题考查的是平面直角坐标系中已知面积求点的坐标，根据C点的位置分类讨论是解决此题的关键.
2．在平面直角坐标系中，?ABC的位置如图所示，则?ABC的面积是________.
【答案】9.
【解析】如图，S?ABC?SFGCH?S?ABF?S?BCG?S?ACH?4?5?111?3?3??1?5??2?4?9. 222【点拨】利用网格特点，将所求的?ABC的面积转化为规则图形面积的差即可.本题考查了坐标系中三角形面积的计算，属于常考题型，掌握求解的方法是关键.
二、解答题
3．如图，在平面直角坐标系中，A?3,4?、B?5,1?．求OAB的面积．
2
【答案】
17 2【解析】如图，过点A、B分别作x轴的垂线交x轴于点C、D．根据面积公式求得S△BOD、S梯形ACDB、S△AOC的值，然后由图形可以求得S△AOB= S△AOC +S梯形ACDB- S△BOD． 解：过点A、B分别作x轴的垂线交x轴于点C、D． ∵A（3，4），B（5，1）， ∴OC=3，AC=4，OD=5，BD=1. ∴S△AOC=S△BOD=
11×OC?AC=×3×4=6， 22511OD?BD=×5×1=， 22211( BD+AC)?CD=×(1+4)×2=5， 22S梯形ACDB=
∴S△AOB= S△AOC +S梯形ACDB- S△BOD =6+5-
517=. 22【点拨】本题考查了三角形的面积、坐标与图形性质．通常采用“割补法”解答此类题目．
4．在平面直角坐标系中描出点 A（（2（0（（B（3（1（（C（2（3（（将各点用线段依次 连接起来，并解答如下问题：
（1）在平面直角坐标系中画出△ A′B′C′，使它与△ ABC 关于 x 轴对称，并直接写出△ A′B′C′三个顶点的坐标（
（2）求△ABC的面积．
3
【答案】(1)作图见解析；A'（-2（0（（B'（3（-1（C'（2（-3（（（2（5.5
【解析】（1（在坐标系内画出△ABC，再作出各点关于x轴的对称点，顺次连接各点即可； （2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．
【详解】（1）如图所示，由图可知A'（-2（0（（B'（3（-1（C'（2（-3（（ 2）由图可知，S△ABC=5×3-
12×5×1-12×3×4-12×2×1（ =15-
52-6-1 =5.5（
【点拨】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．5．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）B（2，0）C（4，3）， （1）在平面直角坐标系中画出△ABC，并求△ABC的面积
（2）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标。
【答案】4；（－6,0）或（10,0）.
【解析】试题解析：（1）过C作CD?x轴于D点. S1?ABC?S梯形OACD?S?OAB?S?BCD?2(1?3)?4?12?1?2?12?2?3?8?1?3?4 （2）设P（x，0），则
12?x?2?4， x?2?8， ∴x=10或x=－6
4
∴p（－6,0）或（10,0）.
点拨：试题分析：首先在平面直角坐标系中标出各点，画出三角形；过C作CD?x轴于D点，利用梯形的面积减去两个直角三角形的面积得出△ABC的面积；设点P的坐标为（x，0），根据三角形的面积得出x的值.
6．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A?0,1?、B?2,0?、C?4,3?．
?1?在平面直角坐标系中画出
ABC，则ABC的面积是______；
?2?若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为______； ?3?已知P为x轴上一点，若
ABP的面积为4，求点P的坐标．
【答案】（1）图详见解析，4；（2） ??4,3?；（3）P点坐标为：?10,0?或??6,0?． 【解析】?1?直接利用ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
?2?利用关于y轴对称点的性质得出答案； ?3?利用三角形面积求法得出符合题意的答案．
【详解】?1?如图所示：ABC的面积是：3?4?故答案为：4；
111?1?2??2?4??2?3?4； 222?2?点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为：??4,3?；故答案为：??4,3?； ?3?P为x轴上一点，ABP的面积为4，?BP?8，
?点P的横坐标为：2?8?10或2?8??6，故P点坐标为：?10,0?或??6,0?．
【点拨】此题主要考查了三角形面积求法以及关于y轴对称点的性质，正确得出对应点位置是解题关键．
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2021年中考数学复习函数专题突破专题04 面积问题(含答案解析)
