第二讲：函数的极限
一、知识提领与拓展 1、函数的有界性：
M?f(x)?N,则称f(x)在区间[a,b]存在某两数M, N使得：当x?(a,b)时，上为有界的。
2、无穷极限：一般地，当x取正值且无限增大时，如果函数y?f(x)的值无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于??时，函数y?f(x)的极限
f(x)?a。 为a。记作：xlim???f(x)?a 同理：xlim???f(x)?当xlim???x???limf(x)?af(x)?a ，则limx??示例：求y?2x?1分别在x???,x???,x??时的极限。 x3、函数在某一点极限：设函数y?f(x)在x0的某去心邻域U0?x0,??内有定义，如果当x无限趋近于x0时，f(x)无限接近于一个确定的常数
f?x??A A，则称常数A为当x?x0时函数f(x)的极限，记作xlim?x04、单侧极限(左、右极限)：设函数y?f(x)在区间?x0??,x0?（或区间
?x0,x0???）内有定义，若当自变量x从x0的左（右）侧无限接近于x0，
??记作x?x0(x?x0)时，函数y?f(x)无限接近于一个确定的常数A，
f(x)?A，则称常数A为x?x0时的左（右）极限，记作xlim?x0?limf(x)?A). (x?x0?x?x0limf(x)?A的充要条件是lim?f(x)?lim?f(x)?A .
x?x0x?x0?x?1,x?0?示例：求y??0,x?0分别在x?0?,x?0?,x?0时的极限。
?x?1,x?0?5、函数极限的四则运算：同数列极限
6、两个重要的极限：
1sinx1x?1 (2) lim(1?)?e (lim(1?t)t?e) (1) limx?0x??xxt?07、定理(L’Hospital: 洛必达法则)： 如果①limx?af(x)=0、limF(x)=0；
x?a②在a的附近区域内f?(x)与 ③lim则limx?aF?(x)都存在，且 F?(x)?0；
f?(x)F?(x)存在（或为无穷大）；
。
x?a?f(x)=limf(x)F(x)x?aF?(x)二、典型例题精析 【例1】求下列极限
x3?x?1x3x2x2?1?x?) ?2?xlim ?3?lim((1)lim42x??2x2?1???x??2x?x?22x?1x?x?1m? a 0 x m ? a 1 1?L?amx
(4)lim(a0b0?0,m,n为非负常数)x??bxn?bxn?1?L?b01n
【例2】当
x??2时，写出下列函数的极限
①y=x2 ②y=sinx ③y=5
【例3】求下列极限
(1)lim(x?241cosx ?)(2)lim?xxx2?4x?2x??sin2cos22
?2x?b?x?0??【例4】设f?x???0........(x?0),试确定b的值,使limf(x)存在.
x?0?1?2xx?0???
ax2?bx?1bn?an?1?3,求limn. 【例5】已知limn?1x?1n??x?1a?b
【例6】求下列极限
111?cosx(1) lim (2) lim?1?2x?x (3) 求lim?1?x?x 2x?0x?0x?0x
【例7】求下列极限 (1) limx??1?cosxxlim (2) 2xx?0tanx1?e?x?1?x2(3) limxlnx (4)xlim???x?0???1lnx
三、课后作业 1. limx?0 2. xlim???
x2 cosx??3. lim?x?01e??1?2x?x12ln?1?x2?
lnx x 4. limx?4
x?x2?L?xn?n5. lim x?1x?11?2x?3 x?2
xn?1?(n?1)x?n6. lim x?1(x?1)2
f(x)?4x3f(x)?1,lim?5,求f(x)的表达式. 7. f(x)为多项式,且lim2x??x?0xx
全国百强校浙江省镇海中学三位一体数学讲义：第二讲：函数的极限
