2019年
第四节 相关性、最小二乘估计与统计案例
[考纲传真] 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其初步应用.4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．
1．相关性 (1)线性相关
若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的． (2)非线性相关
若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关为非线性相关的． (3)不相关
如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的． 2．最小二乘估计
2019年
(1)最小二乘法
如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度：[y1－(a＋bx1)]＋[y2－(a＋bx2)]＋…＋[yn－(a＋bxn)].
使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法． (2)线性回归方程
方程y＝bx＋a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的线性回归方程，其中a，b是待定参数．
2
2
2
3．回归分析
(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)样本点的中心
对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中，(x，y)称为样本点的中心． (3)相关系数r
n?xiyi－nx yi＝1
①r＝
nn2
2
；
?xi－nxi＝1
i－ny?y2i＝1
2
②当r>0时，称两个变量正相关． 当r<0时，称两个变量负相关． 当r＝0时，称两个变量线性不相关． 4．独立性检验 若一个2×2列联表为：
B A A1 A2 B1 a c B2 b d 总计 a＋b c＋d
2019年 总计 则它们的独立性检验公式为： a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d χ＝2
a＋b2
nad－bc2c＋da＋cb＋d. (1)当χ≤2.706时，可以认为变量A，B是没有关联的； (2)当χ>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联； (3)当χ>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联； (4)当χ>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．
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1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．( )
^
(2)某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x(℃)之间的关系，得回归方程y＝－2.352x＋147.767，则气温为2℃时，一定可卖出143杯热饮．( )
(3)因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验．( ) (4)若事件A，B关系越密切，则由观测数据计算得到的χ的值越小．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．(2017·南昌一模)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )
A．y＝0.4x＋2.3 C．y＝－2x＋9.5
B．y＝2x－2.4 D．y＝－0.3x＋4.4
2
A [因为变量x和y正相关，排除选项C，D.又样本中心(3,3.5)在回归直线上，排除B，选项A满足．] 3．(2015·全国卷Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )
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图9-4-1
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
D [对于A选项，由图知从2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正确．对于B选项，由图知，由2006年到2007年矩形高度明显下降，因此B正确．对于C选项，由图知从2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正确．由图知2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，故选D.]
4．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算
χ2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是 ( )
A．有99%的人认为该电视栏目优秀
B．有99%的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 C．有99%的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 D．没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
D [只有χ＞6.635才能有99%的把握认为“该电视栏目是否优秀与改革有关系”，而即使χ＞6.635也只是对“该电视栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的结论，与是否有99%的人等无关，故只有D正确．]
5．(教材改编)若8名学生的身高和体重数据如下表：
编号 身高/cm 体重/kg 1 165 48 2 165 57 3 157 4 170 54 5 175 64 6 165 61 7 155 43 8 170 59 2
2
^第3名学生的体重漏填，但线性回归方程是y＝0.849x－85.712，则第3名学生的体重估计为________kg. 50 [设第3名学生的体重为a，则
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(48＋57＋a＋54＋64＋61＋43＋59)＝0.849×(165＋165＋157＋170＋175＋165＋155＋170)－85.712. 88 解得a≈50.]
相关关系的判断 (1)(2015·湖北高考)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是( )
A．x与y正相关，x与z负相关
2020高考数学一轮复习第9章算法初步统计与统计案例第4节相关性最玄乘估计与统计案例教师用书文北师大版
