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习题课 导数的应用
明目标、知重点
1.理解用导数研究函数的逼近思想和以
直代曲思想.2.会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次). 1.函数f(x)=x-x-x的单调减区间是________. 1
答案 (-,1)
3
12
解析 由f′(x)=3x-2x-1<0得,- 31 所以函数f(x)在区间(-,1)内单调递减. 3 2.设函数g(x)=x(x-1),则g(x)在区间[0,1]上的最小值为________. 23 答案 - 9 2 3 2 1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 解析 g(x)=x-x,由g′(x)=3x-1=0, 解得x1=又g? 33 ,x2=-(舍去). 33 3 2 ?3?-23 ?=9,g(0)=0,g(1)=0. ?3? 323?3?时,g(x)有最小值g??=-. 39?3? 所以当x= 3.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能为________.(填序号) 答案 ④ 解析 应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图象. 132 4.已知函数f(x)=-x+2x+2x,若存在满足0≤x0≤3的实数x0,使得曲线y=f(x)在 3点(x0,f(x0))处的切线与直线x+my-10=0垂直,则实数m的取值范围是________. 答案 [2,6] 解析 由两条直线垂直的充要条件,得m=f′(x0),由于0≤x0≤3, f′(x)=-x2+4x+2=-(x-2)2+6, 所以f′(x0)∈[2,6], 又切线的斜率为m,所以m的取值范围是[2,6]. 5.若f(x)在(a,b)内存在导数,则“f′(x)<0”是“f(x)在(a,b)内单调递减”的________________条件. 答案 充分不必要 解析 对于导数存在的函数f(x),若f′(x)<0,则f(x)在区间(a,b)内单调递减,反过来,函数f(x)在(a,b)内单调递减,不一定恒有f′(x)<0,如f(x)=-x在R上是单调递减的,但f′(x)≤0. 题型一 与导数几何意义有关的问题 例 1 对正整数n,设曲线y=x(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列{ n3 ann+1 }的前n项和的公式是Sn=________. n+1 答案 2-2 n-1 解析 由k=y′|x=2=-2(n+2),得切线方程为y+2=-2 nnn-1 (n+2)(x-2), n令x=0,求出切线与y轴交点的纵坐标为y0=(n+1)2,所以21-2则数列{}的前n项和Sn= n+11-2 =2, n+1 anann=2 n+1 -2. 反思与感悟 找切点,求斜率是求切线方程的关键. 2文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 跟踪训练 1 如图,曲线y=f(x)上任一点P(x,y)的切线PQ交x轴1 于Q,过P作PT垂直于x轴于T,若△PTQ的面积为,则y与y′的 2关系是________. 答案 y=y′ 1111 解析 S△PTQ=×y×QT=,∴QT=,Q(x-,0),根据导数的几何意义, 22yy2 y-02 kPQ==y′∴y=y′. 1 x-x- y题型二 与函数图象有关的问题 例2 已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),则y=f(x)的图象大致是________.(填序号) 答案 ③ 解析 当0 ∴f′(x)<0,故y=f(x)在(0,1)上为减函数, 排除图象①②.当1 反思与感悟 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要重点考查其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应考查其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致. 跟踪训练2 已知R上可导的函数y=f(x)的图象如图所示,则不等式(x-2x-3)f′(x)>0的解集为________. 答案 (-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞) 题型三 函数的单调性、极值、最值问题 例3 已知函数f(x)=ax+(a-1)x+48(a-2)x+b的图象关于原点成中心对称. (1)求a,b的值; (2)求函数f(x)的单调区间与极值; (3)当x∈[1,5]时,求函数f(x)的最值. 解 (1)∵函数f(x)的图象关于原点成中心对称, 则f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x), 得-ax+(a-1)x-48(a-2)x+b 3文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 3 2 3 2 2 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. =-ax-(a-1)x-48(a-2)x-b, ??a-1=0, 于是2(a-1)x+2b=0恒成立,∴? ??b=0, 2 3 2 解得a=1,b=0; (2)由(1)得f(x)=x-48x, ∴f′(x)=3x-48=3(x+4)(x-4), 令f′(x)=0,得x1=-4,x2=4, 令f′(x)<0,得-4 ∴f(x)极大=f(-4)=128,f(x)极小=f(4)=-128. (3)由(2)知,函数在[1,4]上单调递减,在[4,5]上单调递增, 又f(4)=-128,f(1)=-47,f(5)=-115, 所以函数f(x)的最大值为-47,最小值为-128. 反思与感悟 (1)讨论函数的单调性首先要求出函数的定义域,在定义域内解f′(x)>0得增区间,解f′(x)<0得减区间. (2)求极值时一般需确定f′(x)=0的点和单调性,对于常见连续函数,先确定单调性即可得极值点,当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值点必为函数的最值点. (3)求闭区间上可导函数的最值时,对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断,只需要直接与端点的函数值比较即可获得. 跟踪训练3 已知函数y=ax+bx,当x=1时,有极大值3. (1)求a,b的值; (2)求函数的极小值; (3)求函数在[-1,1]的最值. 解 (1)y′=3ax+2bx,当x=1时,y′|x=1=3a+2b=0, 2 3 2 2 3 y|x=1=a+b=3, ?3a+2b=0,? 即???a+b=3, 3 2 解得a=-6,b=9. 2 (2)y=-6x+9x,y′=-18x+18x, 令y′=0,得x=0,或x=1, ∴y极小值=y|x=0=0. (3)由(1)知,函数y=f(x)=-6x+9x, 又f(-1)=15,f(0)=0,f(1)=3, 4文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 3 2 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 所以函数的最大值为15,最小值为0. 题型四 导数的综合问题 例 4 已知函数f(x)=x-ax-1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增,求a的取值范围; (2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减,若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说明理由. 解 (1)f′(x)=3x-a, 因为f(x)在R上是增函数, 所以f′(x)≥0在R上恒成立. 即3x-a≥0在R上恒成立. 即a≤3x,而3x≥0,所以a≤0. 当a=0时,f(x)=x-1在R上单调递增,符合题意. 所以a的取值范围是(-∞,0]. (2)假设存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减, 则f′(x)≤0在(-1,1)上恒成立. 即3x-a≤0在(-1,1)上恒成立,即a≥3x, 又因为在(-1,1)上,0≤3x<3,所以a≥3. 当a=3时,f′(x)=3x-3,在(-1,1)上,f′(x)<0, 所以f(x)在(-1,1)上单调递减,即a=3符合题意, 所以存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减,且a的取值范围是[3,+∞). 反思与感悟 在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时,应令 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立来求解), 然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0,若不能恒等于0,则参数的这个值应舍去;若 f′(x)能恒等于0,则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立解出的参数的取值范围来确定. 跟踪训练4 设a为实数,函数f(x)=e-2x+2a,x∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值; (2)求证:当a>ln 2-1且x>0时,e>x-2ax+1. (1)解 ∵f(x)=e-2x+2a,x∈R, ∴f′(x)=e-2,x∈R. 令f′(x)=0,得x=ln 2.于是当x变化时,f′(x)和f(x)的变化情况如下表: xxx2 xx f′(x) f(x) (-∞,ln 2) - 单调递减 ln 2 0 2(1-ln 2+a) (ln 2,+∞) + 单调递增 故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 2),单调递增区间是(ln 2,+∞),f(x)在x=ln 2 5文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
高中数学第一章导数及其应用1.3导数的应用习题课苏教版选修2-2
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