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习题课 导数的应用
明目标、知重点
1.理解用导数研究函数的逼近思想和以
直代曲思想.2.会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次)． 1．函数f(x)＝x－x－x的单调减区间是________． 1
答案 (－，1)
3
12
解析 由f′(x)＝3x－2x－1<0得，－ 31 所以函数f(x)在区间(－，1)内单调递减． 3 2．设函数g(x)＝x(x－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为________． 23 答案 － 9 2 3 2 1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 解析 g(x)＝x－x，由g′(x)＝3x－1＝0， 解得x1＝又g? 33 ，x2＝－(舍去)． 33 3 2 ?3?－23 ?＝9，g(0)＝0，g(1)＝0. ?3? 323?3?时，g(x)有最小值g??＝－. 39?3? 所以当x＝ 3．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为________．(填序号) 答案 ④ 解析 应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图象． 132 4．已知函数f(x)＝－x＋2x＋2x，若存在满足0≤x0≤3的实数x0，使得曲线y＝f(x)在 3点(x0，f(x0))处的切线与直线x＋my－10＝0垂直，则实数m的取值范围是________． 答案 [2,6] 解析 由两条直线垂直的充要条件，得m＝f′(x0)，由于0≤x0≤3， f′(x)＝－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6， 所以f′(x0)∈[2,6]， 又切线的斜率为m，所以m的取值范围是[2,6]． 5．若f(x)在(a，b)内存在导数，则“f′(x)<0”是“f(x)在(a，b)内单调递减”的________________条件． 答案 充分不必要 解析 对于导数存在的函数f(x)，若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内单调递减，反过来，函数f(x)在(a，b)内单调递减，不一定恒有f′(x)<0，如f(x)＝－x在R上是单调递减的，但f′(x)≤0. 题型一 与导数几何意义有关的问题 例 1 对正整数n，设曲线y＝x(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{ n3 ann＋1 }的前n项和的公式是Sn＝________. n＋1 答案 2－2 n－1 解析 由k＝y′|x＝2＝－2(n＋2)，得切线方程为y＋2＝－2 nnn－1 (n＋2)(x－2)， n令x＝0，求出切线与y轴交点的纵坐标为y0＝(n＋1)2，所以21－2则数列{}的前n项和Sn＝ n＋11－2 ＝2， n＋1 anann＝2 n＋1 －2. 反思与感悟 找切点，求斜率是求切线方程的关键． 2文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 跟踪训练 1 如图，曲线y＝f(x)上任一点P(x，y)的切线PQ交x轴1 于Q，过P作PT垂直于x轴于T，若△PTQ的面积为，则y与y′的 2关系是________． 答案 y＝y′ 1111 解析 S△PTQ＝×y×QT＝，∴QT＝，Q(x－，0)，根据导数的几何意义， 22yy2 y－02 kPQ＝＝y′∴y＝y′. 1 x－x－ y题型二 与函数图象有关的问题 例2 已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则y＝f(x)的图象大致是________．(填序号) 答案 ③ 解析 当0 ∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数， 排除图象①②.当1 反思与感悟 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致． 跟踪训练2 已知R上可导的函数y＝f(x)的图象如图所示，则不等式(x－2x－3)f′(x)>0的解集为________． 答案 (－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞) 题型三 函数的单调性、极值、最值问题 例3 已知函数f(x)＝ax＋(a－1)x＋48(a－2)x＋b的图象关于原点成中心对称． (1)求a，b的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值； (3)当x∈[1,5]时，求函数f(x)的最值． 解 (1)∵函数f(x)的图象关于原点成中心对称， 则f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， 得－ax＋(a－1)x－48(a－2)x＋b 3文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 3 2 3 2 2 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. ＝－ax－(a－1)x－48(a－2)x－b， ??a－1＝0， 于是2(a－1)x＋2b＝0恒成立，∴? ??b＝0， 2 3 2 解得a＝1，b＝0； (2)由(1)得f(x)＝x－48x， ∴f′(x)＝3x－48＝3(x＋4)(x－4)， 令f′(x)＝0，得x1＝－4，x2＝4， 令f′(x)<0，得－4 ∴f(x)极大＝f(－4)＝128，f(x)极小＝f(4)＝－128. (3)由(2)知，函数在[1,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增， 又f(4)＝－128，f(1)＝－47，f(5)＝－115， 所以函数f(x)的最大值为－47，最小值为－128. 反思与感悟 (1)讨论函数的单调性首先要求出函数的定义域，在定义域内解f′(x)>0得增区间，解f′(x)<0得减区间． (2)求极值时一般需确定f′(x)＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点． (3)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得． 跟踪训练3 已知函数y＝ax＋bx，当x＝1时，有极大值3. (1)求a，b的值； (2)求函数的极小值； (3)求函数在[－1,1]的最值． 解 (1)y′＝3ax＋2bx，当x＝1时，y′|x＝1＝3a＋2b＝0， 2 3 2 2 3 y|x＝1＝a＋b＝3， ?3a＋2b＝0，? 即???a＋b＝3， 3 2 解得a＝－6，b＝9. 2 (2)y＝－6x＋9x，y′＝－18x＋18x， 令y′＝0，得x＝0，或x＝1， ∴y极小值＝y|x＝0＝0. (3)由(1)知，函数y＝f(x)＝－6x＋9x， 又f(－1)＝15，f(0)＝0，f(1)＝3， 4文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 3 2 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 所以函数的最大值为15，最小值为0. 题型四 导数的综合问题 例 4 已知函数f(x)＝x－ax－1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围； (2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由． 解 (1)f′(x)＝3x－a， 因为f(x)在R上是增函数， 所以f′(x)≥0在R上恒成立． 即3x－a≥0在R上恒成立． 即a≤3x，而3x≥0，所以a≤0. 当a＝0时，f(x)＝x－1在R上单调递增，符合题意． 所以a的取值范围是(－∞，0]． (2)假设存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减， 则f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立． 即3x－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x， 又因为在(－1,1)上，0≤3x<3，所以a≥3. 当a＝3时，f′(x)＝3x－3，在(－1,1)上，f′(x)<0， 所以f(x)在(－1,1)上单调递减，即a＝3符合题意， 所以存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，且a的取值范围是[3，＋∞)． 反思与感悟 在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立来求解)， 然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若不能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若 f′(x)能恒等于0，则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立解出的参数的取值范围来确定． 跟踪训练4 设a为实数，函数f(x)＝e－2x＋2a，x∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e>x－2ax＋1. (1)解 ∵f(x)＝e－2x＋2a，x∈R， ∴f′(x)＝e－2，x∈R. 令f′(x)＝0，得x＝ln 2.于是当x变化时，f′(x)和f(x)的变化情况如下表： xxx2 xx f′(x) f(x) (－∞，ln 2) － 单调递减 ln 2 0 2(1－ln 2＋a) (ln 2，＋∞) ＋ 单调递增 故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2 5文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
高中数学第一章导数及其应用1.3导数的应用习题课苏教版选修2-2
