山西省大同市2020届高三下学期3月模拟
考试数学（理）试卷
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A?{x|log2(x?1)?1},B?{x|x?a?2}，若A?B，则实数a的取值范围为（ ） A．(1,3) 2．若复数z满足A．1
B．2
0.1B．[1,3] C．[1,??) C．3
D．(??,3] D．3?1
（为虚数单位），则复数|z|的最大值为（ ）
3?2????b?log2c?logcos3．已知a??tan，，32??75?????，则（ ） ?A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a>c>b 4．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15， …．我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的
…）三角锥的堆垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，．若
一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛总共球的个数为（ ） A．55 B．220 C．285 D．385 5．下列图象中，不可能是函数的图象的是（ ）
A． B． C． D． 6．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示．金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数．所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即“设x为某某”．如图2所示的天元式表示方程，其中，，，，表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂．
试根据上述数学史料，判断图3所示的天元式表示的方程是（ ） A． B． C． D． 7．执行如图所示的程序框图，输出结果（ ） A．-50 B．-60 C．-72 D．60
8．已知单位向量a，b的夹角为，且A．
B．
，若向量mC．
a-3b，则|m
D．
或
（ ）
9．已知(2x+a)A．
R，
的展开式中的系数是42，则常数a，b应当满足的条件是（ ） B．
R，
C．
R，
D．
，
R
10．已知函数f(x)?3sin?x?cos?x(??0)的最小正周期为2?，则f(x)的单调递增区间是（ ）
????2????B．?2k??,2k??,2k???(k?Z) (k?Z) ?66?33???2????5????C．?2k??D．?2k??,2k??,2k???(k?Z) (k?Z) ?33?66???x2y211．已知M为双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的右支上一点，A,F分别为双曲线C的
ab左顶点和右焦点，线段FA的垂直平分线过点M，?MFA?60?，则C的离心率为（ ）
A．?2k??A．6 B．4 12．设定义在R上的函数满足对任意A．?，不等式f(x)?B．?C．3 D．2
，且当［-1，0）时，
．若
17 89 43恒成立，则实数的最小值是（ ） 41123C．? D．?
48第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知数列是等差数列，是其前n项和．若
，，则_____
14．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数y?f(x?1)为偶函数，当0≤x≤1时，
?5?f(x)?x3，则f??? ．
?2?15．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（当一人先赢3局时获胜，比赛结束）．棋局以红棋与黑棋对阵，两人执色轮流交换，执红棋者先走．假设甲执红棋时取胜的概率为执黑棋时取胜的概率为
2，31，各局比赛结果相互独立，且没有和局．若比赛开始，甲执红棋2开局，则甲以3：2获胜的概率为________．
16．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中记述：羡除，隧道也，其形体上面平而下面斜，一面与地面垂直，并用“分割法”加以剖分求其体积．如图所示的五面体ABCDEF是一个羡除，两个梯形侧面ABCD与CDEF相互垂直，
．若，，，梯形ABCD与CDEF的高分别为
和，则该羡除的体积________；由此归纳出求羡除体积的一般公式为________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinAsinB?cos2C， 2(c?3b)sinC?(a?b)(sinA?sinB)． （1）求?A和?B的大小；
（2）若△ABC的面积为3，求BC边上中线AM的长．
18．（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，
B1C1BAB?AC?AA1?BC1?2,?ACA?30?,BC?6． 1（1）求证：平面ABC1?平面AAC11C； （2）求二面角B1?AC1?C的余弦值．
CA1A19．（本小题满分12分）甲、乙两名运动员共参加3次百米赛跑预赛，赢2次以上者（包含2次）获得决赛资格．每次预赛通过摸球的方法决定赛道，规则如下：裁判员从装有n个红球和2个白球的口袋中不放回地依次摸出2球，若2球的颜色不同，则甲在第一赛道，否则乙在第一赛道（每次赛道确定后，再将取出的两个球放回袋中）．假设甲获得决赛资格的概率为
7，每次预赛结果互相独立，且无相同成绩． 27（Ⅰ）当口袋中放入红球的个数n为多少时，3次比赛中甲恰有2次在第一赛道的概率最大; （Ⅱ）若在3次比赛中，运动员每赢一次记1分，否则记-1分，求甲得分X的分布列和数学期望．
x2y220．（本小题满分12分）已知双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F，半焦距，
aba21点F到右准线x?的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设
c2AB，CD的中点分别为M，N．
（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；
（Ⅱ）证明： 直线MN必过定点，并求出此定点坐标． 21．（本小题满分12分）
1213ax?x?． 424（1）当a??1时，求f(x)的单调区间；
已知函数f(x)?lnx?（2）若f(x)存在两个极值点x1,x2，且x1?x2，证明：
f(x1)?f(x2)1?2a?．
x1?x24（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第
一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为数方程为（Ⅰ）若
（t为参数）．
，求曲线C与直线l的两个交点之间的距离；
，求m的值．
（为参数），直线l的参
（Ⅱ）若曲线C上的点到直线l的距离的最大值为
23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知f(x)?x?1?ax?a?1．
（1）当a?1时，求不等式f(x)≥3的解集；
山西省大同市2020届高三下学期3月模拟考试理科数学试卷(附答案解析)
