高中数学学习材料
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炎德·英才大联考湖南师大附中2016届高三月考试卷（七）
数学（理科）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.设复数z满足1?3z?i，则z?（ ）
1?3z233 D． 33A．3 B．6 C．2.已知命题P:在三角形ABC中，“A?B”成立的充分必要条件是“sinA?sinB”；命题Q:若随机变量
X服从正态分布N(1,a2)，且X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为0.8；下列命
题中正确的是（ ）
A．P?Q B．?P?Q C．P??Q D．?P??Q 3.已知向量a?(1,1?sin20),b?(001,x)共线，则实数x的值为（ ） 0sin550A．1 B．2 C．2tan35 D．tan35
4.某几何体的正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中四边形都是边长为2的正方形，正视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的表面积为（ ）
A．24 B．20?42 C．24?42 D．20?43
5.设集合A??2,0,1,6?,B?k|k?R,k2?2?A,k?2?A，则集合B中所有元素之积为（ ） A．48 B．83 C．96 D．192 6.在等差数列?an?中，若
??a11n的值为??1，且它的前n项和Sn有最大值，则当Sn取得最小正值时，（ ）
a10A．10 B．11 C．19 D．20
?x?y?2?0u?7.若实数x,y满足?y?x?1?0，设u?x?2y,v?2x?y，则的最大值为（ ）
v?x?1?A．1 B．
57 C． D．2 45
9.抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上和反面向上的概率都为
1，构造数列?an?，使2?1，第n次正面向上，，记Sn?a1?a2?an???1，第n次把反面向上，?A．
?an，则S2?0且S8?2的概率为（ ）
43431313 B． C． D． 1286412864PF1?PF2，10.如图，F1,F2为双曲线C的左右焦点，且F1F2?2，若双曲线C右支上存在点P，使得
设直线PF2与y轴交于点A，且?APF1的内切圆半径为
1，则双曲线的离心率为（ ） 2
A．2 B．4 C．3 D．23 11.设G为三角形ABC的重心，且AGBG?0，若A．2 B．4 C．
11???，则实数?的值为（ ） tanAtanBtanC11 D． 2412.函数f(x)是定义在(0,??)上的单调函数，?x?(0,??),f?f(x)?lnx??e?1，给出下面四个命题： ①不等式f(x)?0恒成立；
②函数f(x)存在唯一零点x0，且x0?(0,1)； ③方程f(x)?x有且仅有一个根；
④方程f(x)?f?(x)?e?1（其中e为自然对数的底数）有唯一解x0，且x0?(1,2)．其中正确的命题个数为（ ）
A． 1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．
13.在x(1?2x)的展开式中，含x项的系数为________．
14.阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为________．
63
15.双曲线x?y?8的在左、右焦点分别是F1、F2，点Pn(xn,yn)(n?1,2,3,22)在其右支上，且满足
xPn?1F2?PnF1,PF12?F1F2，则2016的值是________．
16.定义区间(a,b),?a,b?,?a,b?,?a,b?的长度均为d?b?a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，(1,2)?3,5?的长度d?(2?1)?(5?3)?3．用?x?表示不超过x的最大整数，记?x??x??x?，其中
x?R．设f(x)??x??x?,g(x)?x?1，当0?x?k时，不等式f(x)?g(x)的解集区间的长度为10，则k?_______．
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
已知向量a?(sin?x,2cos?x),b?(cos?x,?数f(x)的最小正周期为
23cos?x)(??0)，函数f(x)?a(3b?a)?1，且函3?． 2（1）求函数f(x)的解析式及单调增区间；
（2）设?ABC的三边为a、b、c．已知sinA,sinB,sinC成等比数列，若方程f(B)?k有两个不同的实数解，求实数k的取值范围． 18.（本小题满分12分）
师大附中高一研究性学习小组，在某一高速公路服务区，从小型汽车中按进服务区的先后，以每间隔10辆就抽取一辆的抽样方法抽取20名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：
?70,75?,?75,80?,?80,85?,?85,90?,?90,95?,?95,100?统计后得到如下图的频率分布直方图．
（1）此研究性学习小组在采集中，用到的是什么抽样方法？并求这20辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；
（2）若从车速在?80,90?的车辆中做任意抽取3辆，求车速在?80,85?和?85,90?内都有车辆的概率； （3）若从车速在?90,100?的车辆中任意抽取3辆，求车速在?90,95?的车辆数的数学期望． 19.（本小题满分12分）
如图，在Rt?ABC中，AB?BC?4，点E在线段AB上，过点E作EF//BC交AC于点F，将?AEF沿EF折起到?PEF的位置（点A与P重合），使得?PEB?60．
0
（1）求证：EF?PB；
（2）试问：当点E在何处时，四棱锥P?EFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥P?EFCB的体积及直线PC与平面EFCB所成角的正切值． 20.（本小题满分12分）
x2y2??1(0?b?3)的左右焦点分别为E、F,过点F的直线交椭圆于A,B两点，如图，已知椭圆C:9b2若AF?2FB，且AEBE?16．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线x?my?1与椭圆交于不同的两点P,Q，判断在x轴上是否存在定点N，使x轴平分?PNQ，若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由． 21.（本小题满分12分） 函数f(x)?lnx,g(x)?x．
（1）求函数h(x)?f(x)?x?1的最大值；
2f(x1)?x2f(x2)恒（2）对于任意x1,x2?(0,??)，且x2?x1，是否存在实数m，使mg(x2)?mg(x1)?x1成立，若存在求出m的范围，若不存在，说明理由； （3）若正项数列?an?满足a1?的大小，并加以证明．
(1?an)an11Sn,?，且数列?an?的前n项和为Sn，试判断2en与2?12an?12g(an)选做题：请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分） 如图，
O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交O于N，过N点的切线交
CA的延长线于P．
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