高考数学总复习 11.6 离散型随机变量的均值、方差和正态分布
限时规范训练 理 新人教A版
【金版教程】2014届高考数学总复习 11.6 离散型随机变量的均值、
方差和正态分布限时规范训练 理 新人教A版
(时间：45分钟 分值：100分)
一、选择题
1. [2013·大庆模拟]设ξ是服从二项分布B(n，p)的随机变量，又E(ξ)＝15，D(ξ)45
＝，则n与p的值为( ) 4
3
A．60，
43
C．50，
4答案：B
解析：由ξ～B(n，p)，有E(ξ)＝np＝15，
1
B．60，
41
D．50，
4
D(ξ)＝np(1－p)＝，
1
∴p＝，n＝60.
4
2. [2013·许昌模拟]设随机变量X～N(1,5)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，则实数a的值为( )
A. 4 C. 8 答案：A
解析：由正态分布的性质可知P(X≤0)＝P(X≥2)，∴a－2＝2，∴a＝4，选A. 1
3. [2013·安徽怀远]在正态分布N(0，)中，数值落在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的
9概率为( )
A. 0.097 C. 0.03 答案：D
1
解析：∵μ＝0，σ＝，∴P(x<－1或x>1)＝1－P(－1≤x≤1)＝1－P(μ－3σ≤x≤μ3
1
2
454
B. 6 D. 10
B. 0.046 D. 0.0026
＋3σ)＝1－0.9974＝0.0026.
4. [2013·扬州调研]某校约有1000人参加摸底考试，其数学考试成绩ξ～N(90，
a2)(a>0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为
3
总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为( )
5
A. 200 C. 400 答案：A
1311
解析：由题知，P(x≥110)＝×(1－)＝，则成绩不低于110分的学生人数约为1000×
2555＝200.
5. [2013·天津调研]为了给2013年天津东亚运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动．参选的志愿者回答三个问题，其中二个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设ξ为回答正确的题数，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝( )
A. 1 5
C. 34答案： 3
解析：由题意知，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3，
4B. 3D. 2 B. 300 D. 600
P(ξ＝0)＝()2×＝；
P(ξ＝1)＝××＋××＋××＝； P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝； P(ξ＝3)＝××＝.
5414
所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
1212123
6. [2013·德阳模拟]已知袋中装有6个白球、2个黑球，从中任取3个球，则取到白球个数ξ的期望E(ξ)＝( )
A. 2 61
C. 28答案：D
59B. 289D. 4
1122
113121122
2111132232
1142312
1122
2112132232
1152312
1223212
2
C6C23C6C2
解析：取到的白球个数ξ可能的取值为1,2,3.所以P(ξ＝1)＝3＝；P(ξ＝2)＝3
C828C8
15C653155639
＝；P(ξ＝3)＝3＝.因此取到白球个数ξ的期望E(ξ)＝＋2×＋3×＝＝. 28C814282814284
二、填空题
7. [2013·玉林模拟]马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：
3
1221
x P(ξ＝x) 1 ？ 2 ！ 3 ？ 请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.
答案：2
解析：设P(ξ＝1)＝x，
则P(ξ＝2)＝1－2x，P(ξ＝3)＝x， ∴E(ξ)＝1·x＋2·(1－2x)＋3·x＝2. 8. 已知随机变量ξ的分布列如下：
ξ P －1 0 1 a b c 1其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)的值是________．
35答案： 9
解析：a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c. 1
又a＋b＋c＝1，E(ξ)＝－1×a＋1×c＝c－a＝，
3
1111211211215∴a＝，b＝，c＝，∴D(ξ)＝(－1－)×＋(0－)×＋(1－)×＝.
63236333299. [2013·岳阳模拟]一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分．没有击中记2
0分，某人每次击中目标的概率为.此人得分的数学期望与方差分别为________．
3
200
答案：20， 3
解析：记此人三次射击击中目标η次得分为ξ分， 2
则η～B(3，)，ξ＝10η，
32
∴E(ξ)＝10E(η)＝10×3×＝20，
3
D(ξ)＝100D(η)＝100×3××＝三、解答题
21200
.
333
3
10. [2013·运城模拟]甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概2率都是.
3
(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；
(2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望． 解：(1)设甲、乙闯关成功分别为事件A、B， C4C241
则P(A)＝3＝＝，
C6205
2
P(B)＝(1－)3＋C2＋＝. 3(1－)＝12
2
3232312279727
所以，甲、乙至少有一人闯关成功的概率是： 17128
1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－×＝. 527135(2)由题意，知ξ的可能取值是1、2. C4C21C6－C4C24
P(ξ＝1)＝3＝，P(ξ＝2)＝＝ 3
C65C65C4C2＋C44
(或P(ξ＝2)＝＝) 3
C65则ξ的分布列为：
21
3
12
3
12
ξ P 149∴E(ξ)＝1×＋2×＝. 555
1 1 52 4 511. [2013·焦作质检]学生在教师上第一节课时会对教师产生“优秀”或“一般”的1
第一印象，某个学生将“优秀”误认为“一般”的概率为，将“一般”误认为“优秀”的21
概率为.有4个教师来学校应聘，其中3人“优秀”，1人“一般”，学校要求他们在该学
4生所在的班级各上了一节课．
(1)求该学生第一印象认为其中2人“优秀”，2人“一般”的概率； (2)求该学生第一印象认为“优秀”的人数X的分布列及期望．
解：(1)设“该学生第一印象认为其中2人‘优秀’，2人‘一般’”为事件A，则该学生第一印象认为2人“优秀”，2人“一般”有两种可能．
一是错误地把“优秀”的1人认为成“一般”，其他第一印象判定与实际一致； 二是错误地把“优秀”的2人认为成“一般”，把“一般”的1人认为成“优秀”，其他第一印象判定与实际一致．
4
1123212119331
∴P(A)＝C3××()×＋C3×()××＝＋＝.
22422432328(2)依题意得X的可能取值为0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝()3×＝；
23
P(X＝1)＝C1＝； 3×()××＋()×＝
1
234332
12132412110432516
P(X＝2)＝P(A)＝；
2
P(X＝3)＝()3×＋C1＝； 3×()××＝
3
8
1212
3414
121162432316
P(X＝4)＝()3×＝.
故X的分布列为：
132
X P 0 3 32332
516
1 5 1638
2 3 8316
3 3 1617324
4 1 32X的期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
12. [2013·曲靖模拟]第30届夏季奥运会于2012年7月27日在伦敦举行，当地某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者．将这20名志愿者的身高(单位：cm)编成如下茎叶图：
若身高在180 cm以上(包括180 cm)定义为“高个子”，身高在180 cm以下(不包括180 cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．
解：(1)根据茎叶图可知，这20名志愿者中有“高个子”8人，“非高个子”12人， 51
用分层抽样的方法从中抽取5人，则每个人被抽中的概率是＝，
20411
所以应从“高个子”中抽8×＝2人，从“非高个子”中抽12×＝3人．
44
5
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