2021年考研数学三真题及答案

2021年考研数学三真题及答案

一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.)

⑴当工f 0时,「(/-1,〃是/的 Jo

(A)低阶无穷小. 【答案】C.

(B)等价无穷小.

(。高阶无穷小.

(D)同阶但非等价无疗小.

【详解】因为当Xf0时.=2x(J—l) T,，所以1。是f高阶无穷小，正 确答案为C.

(2)函数/(*= 丁'**\在x = 0 处

1.x =0

(A)连续且取极大值. (B)连续且取极小值. (C)可导且导数为0. (D)可导且导数不为0. 【答案】D.

【详解】因为lim/(工尸lim^——^ = 1 =/(0) ,故/g在、=0处连续： x-0 X->0 J

_ 心_1 x_ _

因为1而〃工)_?°)= 1而 三人=hm\一工二二,故/'(0)=[，正确答案为D.

I x-0 八。x-0 ,3 厂 2 2 (3)设函数/(x) = ar-61nrUz>0)将两个零点，则人的取值范围是

a

(A)(c,x). ⑻(0,e). (C)(0,). (D)(L+Q

e e

【答案】A.

r【详解】令/(x) = ax■-Sln.t = 0 , f(x) ==?- - ? 令/'(x) = 0 有驻点x=9，/f->1 In —<0 ?

x a \\aj a a

从而可得正施答案为A. a a

2

(4)设函数/(x可微.f(x + 14) = x(x + 1). /(\，)= 2-丫2小丫.则或(|,1) = gdx + dy. (H)dx - dy . (C)dy . (D)一办二 【答案】c.

【详解】f\\x + Le)^ef：(x + Le) = (x +1)+ 2x(x +1)

x

xx2

①

②

/ (x,x2) + 2*(X, x2 ) = 4.vln.x +2Y

A = 0 x = I 小.

分别将4 八，

.带入①②式行

j =0 [y = 1

/；(1. 1)4^(1,1) = 1. ￡(1,1) + 2掰,1) = 2

联立可得/U,1) = 0. 4(1,1) = 1.寸(1,1)=工'(1,1)公+￡'(1.1)力=为，.故正确答案为仁

⑸一次型，区内,勺）=区+0）2 + （演+勺）2 -（芍一1）2的正惯性指数与负惯性指数依次为

（A）2,0.

【答案】B.

（B）1J. （C）2J. （D）l,2.

【详解】2，X3）=（X+七）2 +（1 +巧『一（'3-X]『=2与+ 2工汽+ 2*2“3+ 2'项

’0 1 r

所以4= 1 2 1 ,故籽征多项式为

1 1 0 /

A -1 -1

|4E-月 |=-1 -2 -1 =（A + 1）（A-3）A

-1 -1 z

令上式等于零，故特征值为-1. 3, 0.故该一次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1.故应选B

,一丁、

/IX a

\\ ?

⑹设力=（0],q,.,里）为4阶正父矩阵，若矩阵8= a； ?夕=I .上表示任总福数.

则线性方程组取=户的通解工=

（A）a2 +%+。4 +k%. （C）Cj +a2 + a4 +k.. 【答案】D.

（8）4 + 6 + 4 + ka?

（b）a] + a2+ai+ka4.

【解析】因为4 =（.,%，％，6）为4阶正交矩阵，所以向量组q,6,是一组标准正交向房

a

组.则，?（5） = 3, 乂 BQ”= 劣=0,所以齐次线性方程组取=0的通解为Aq .而 1%

'叫 （「

2（4+/+%）= aJ （。|+。2+.）= 1 =尸.故线性方程组Bx = fi的通解 x 二 %十.十%+A%，其耳戛为任意常敌.故应选D.

\0 -1、

（7）12知矩阵*= 2 -1 I ,若卜三角可逆矩阵尸和上三角可逆矩阵Q ,便上4。为对比

-1 2 -5 /

矩阵，则P, Q可以分别取

0 0、

I 0

(A)

0 1 0 (B) 2 -1

、

。 。

I

-3 2

0 0

2 -3 'I (D) 0

、

2

-1

-1 2

0

1

【答案】c. 【解析】

0、 0 -1 1 (4￡) =

0 --3 2

>>

1

0 -3 = (F,P),则 P= 2 -1 0

-3 2 -1 「

-3 1 0 0 0 0 .则。=o 1 3 .故应选C.

0 0 0 0 0 0 1

1 0

1 1 0

0 (8)设为， 8为随机事件0

.且0(4),则P(川5) = p(4). (B)若尸(川 5)>P(N),

P(A\\B)>P(A)

(C)若 P(A\\B)> P[A\\B),则 P(A\\B)> P(A). (D)^ P(>1 \\Al)B) >P(A \\AlJB), M P(A)> P(B).

【答案】D.

p(m

P(A) + P(B)-P(AB)

P(A\\A\\JB) = P(A U B) P(A U B) P(A)+P(B) -P(AB) 因为尸(.4|/1U8)>PG4|4UB) .固有尸(4)>L(8)-P(江),故正确答案为D.

⑼设(X3).(占,匕)，….(必9)为来自总体M从，外;幻,生2；■的简单随机样木，令

I n 一 1 ”

<9=丛_为，又=_2工，r=-yr. )=又_干则

〃日 〃 /=!

0 0、-I 0

2 1