上海华东师范大学附属东昌中学南校数学一元二次方程单元达标训
练题（Word版 含答案）
一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）
1．已知:在平面直角坐标系xoy中,直线y?kx?b分别交x、y轴于点A、B两
点,OA=5,∠OAB=60°.
(1)如图1,求直线AB的解析式；
(2)如图2,点P为直线AB上一点，连接OP,点D在OA延长线上，分别过点P、D作OA、OP的平行线,两平行线交于点C，连接AC,设AD=m,△ABC的面积为S,求S与m的函数关系式; (3)如图3,在(2)的条件下,在PA上取点E ,使PE=AD, 连接EC,DE,若∠ECD=60°,四边形ADCE的周长等于22，求S的值.
【答案】(1)直线解析式为y??3x?53；(2)S=【解析】 【分析】
53253；(3)S?203. m?22(1)先求出点B坐标，设AB解析式为y?kx?b，把点A(5，0)，B(0，53)分别代入，利用待定系数法进行求解即可；
(2)由题意可得四边形ODCP是平行四边形，∠OAB=∠APC=60°，则有PC=OD=5+m，∠PCH=30°，过点C作CH⊥AB，在Rt△PCH中 利用勾股定理可求得CH=由S=
3?5?m?，再21AB?CH代入相关数据进行整理即可得； 2(3) 先求得∠PEC=∠ADC，设∠OPA=?，则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+?，在BA延长线上
截取AK=AD，连接OK，DK，DE，证明△ADK是等边三角形，继而证明△PEC≌△DKO，通过推导可得到OP=OK=CE=CD，再证明△CDE是等边三角形，可得CE=CD=DE，连接OE，证明△OPE≌△EDA，继而可得△OAE是等边三角形，得到OA=AE=5 ，根据四边形ADCE的周长等于22，可得ED=
17?m5
，过点E作EN⊥OD于点N，则DN=?m，由勾股定理得22
EN2?DN2?DE2， 可得关于m的方程，解方程求得m的值后即可求得答案.
【详解】
(1)在Rt△ABO中OA=5，∠OAB=60°， ∴∠OBA=30°，AB=10 ，
由勾股定理可得OB=53， ∴B(0，53)，
设AB解析式为y?kx?b，把点A(5，0)，B(0，53)分别代入，得???0?5k?b，
??53?b??k??3∴?， ??b?53∴直线解析式为y??3x?53； (2)∵CP//OD，OP//CD，
∴四边形ODCP是平行四边形，∠OAB=∠APC=60°， ∴PC=OD=5+m，∠PCH=30°， 过点C作CH⊥AB，在Rt△PCH中 PH=
5?m3，由勾股定理得CH=?5?m?， 22∴S=
11353253AB?CH=?10?； (5?m)?m?22222
(3) ∵∠ECD=∠OAB=60°，
∴∠EAD+∠ECD=180°，∠CEA+∠ADC=180°， ∴∠PEC=∠ADC，
设∠OPA=?，则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+?， 在BA延长线上截取AK=AD，连接OK，DK，DE， ∵∠DAK=60°， ∴△ADK是等边三角形， ∴AD=DK=PE，∠ODK=∠APC， ∵PC=OD， ∴△PEC≌△DKO，
∴OK=CE，∠OKD=∠PEC=∠OPC=60°+?， ∠AKD= ∠APC=60° ， ∴∠OPK= ∠OKB， ∴OP=OK=CE=CD，
又∵∠ECD=60°， ∴△CDE是等边三角形， ∴CE=CD=DE，
连接OE，∵ ∠ADE=∠APO，DE=CD=OP， ∴△OPE≌△EDA， ∴AE=OE， ∠OAE=60°， ∴△OAE是等边三角形， ∴OA=AE=5 ，
∵四边形ADCE的周长等于22， ∴AD+2DE=17， ∴ED=
17?m， 25
?m， 2
过点E作EN⊥OD于点N，则DN=
由勾股定理得EN2?DN2?DE2， 即(532517?m2)?(m?)2?()， 222解得m1?3，m2??21(舍去)， ∴S=153253=203. ?22
【点睛】
本题考查的四边形综合题，涉及了待定系数法，平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解一元二次方程等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
2．如图，直角坐标系xOy中，一次函数y?kx?b的图象l1分别与x轴，y轴交于A，B两点，点A坐标为?9,0?，正比例函数y?1x的图象l2与l1交于点C?m,3?，点N?n,0?2
在x轴上一个动点，过点N作x轴的垂线与直线l1和l2分别交于P、Q两点．
（1）求m的值及直线l1所对应的一次函数表达式； （2）当0?PQ3时，求n的取值范围； （3）求出当n为何值时，?PQC面积为12？
【答案】（1）m?6；y??x?9；（2）4n?6或6?n8；（3）n?2或10． 【解析】 【分析】
（1）直接将点C代入正比例函数，可求得m的值，然后将点C和点A代入一次函数，可求得一次函数解析式；
（2）用含n的式子表示出PQ的长，然后解不等式即可；
（3）用含有n的式子表示出△PQC的底边长和高的长，然后求解算式即可得． 【详解】
（1）将点C(m，3)代入正比例函数y?1x得： 21m，解得：m=6 2则点C(6，3) ∵A(9，0)
3=
将点A，C代入一次函数y?kx?b得：
?0?9k?b ??3?6k?b解得：k=－1，b=9
∴一次函数解析式为：y=－x+9 （2）∵N(n，0) ∴P(n，9－n)，Q(n，
1n) 2
∴PQ=9?n?1n 2∵要使0?PQ3 ∴0＜9?n?1n?3 2解得：4n?6或6?n8
（3）在△PQC中，以PQ的长为底，则点C到PQ的距离为高，设为h 第（2）已知：PQ=9?n?由图形可知，h=6?n ∵△PQC的面积为12 ∴12=
13n?9?n 22126?n39?n 21212情况一：当n＜6是，则原式化简为：12=解得：n=2或n=10(舍)
情况二：当n≥6时，则原式化简为：12=解得：n=2(舍)或n=10 综上得：n=2或n=10． 【点睛】
?6?n?3??9?n? ?2???3?n?9?? 2???n?6?本题考查一次函数的综合，用到了解一元二次方程，求三角形面积等知识点，解题关键是用含n的算式表示出PQ的长度，注意需要添加绝对值符号．
3．阅读下面材料：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d表示，我们可以用公
n(n?1)?d来计算等差数列的和．（公式中的n表示数的个数，a表示第一个2数的值，）
10(10?1)×2＝120． 例如：3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋
2用上面的知识解决下列问题．
（1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116
式S?na?（2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木．
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