贝塞尔函数的应用（11.13）
形如
x2f''(x)?xf'(x)?(x2?v2)f(x)?0
的二阶微分方程称为v阶贝塞尔方程。且
f(x)?Jv(x)
是方程的一个解。此外，当v不是整数时，
f(x)?J?v(x)
是方程的一个与Jv(x)线性无关的解，因此，此时贝塞尔方程的通解为
f(x)?C1Jv(x)?C2J?v(x)
当v是整数时，
f(x)?Yv(x)
是方程的一个与Jv(x)线性无关的解，因此，此时贝塞尔方程的通解为
f(x)?C1Jv(x)?C2Yv(x)
问题1：考虑极坐标下的二维波动方程
utt?c2(urr?r?1ur?r?2u??)
u(b,?,t)?0, u(r,?,0)?f(r,?), ut(r,?,0)?0
根据变量分离法，首先假设
u(r,?,t)?R(r)?(?)T(t)
代入原微分方程后可得
?1?2R(r)?(?)T''(t)?c2??R''(r)?(?)T(t)?rR'(r)?(?)T(t)?rR(r)?''(?)T(t)??
移项整理可得
T''(t)R''(r)?(?)?r?1R'(r)?(?)?r?2R(r)?''(?)2?????0 2cT(t)R(r)?(?)因此
T''(t)?c2?2T(t)?0
同时
R''(r)?r?1R'(r)r?2?''(?)2?????v2?0
R(r)?(?)因此
?''(?)?v2?(?)?0
r2R''(r)?rR'(r)?(?2r2?v2)R(r)?0
分别求解上述三个微分方程
对于方程?''(?)?v2?(?)?0，由于题目中没有给定?的范围，因此
u(r,?,t)?u(r,??2?,t)
即
?(?)??(??2?)
由于其通解为
?(?)?e0(C1cosv??C2sinv?)同时
?(??2?)?C1cosv(??2?)?C2sinv(??2?)?C1cos(v??2?v)?C2sin(v??2?v)
贝塞尔函数的应用 数学物理方程
