分析：等号左边涉及角7x、5x、3x、x右边仅涉及角x，可将左边各项逐步转化为sinx、
cosx的表达式，但相对较繁. 观察到右边的次数较高，可尝试降次. 证明：因为cos3x?4cosx?3cosx,所以4cosx?cos3x?3cosx,
从而有16cos6x?cos23x?6cos3xcosx?9cos2x
33 ?1?cos6x9?3(cos4x?cos2x)?(1?cos2x) 22
32cos6x?1?cos6x?6cos4x?6cos2x?9?9cos2x,64cosx?2cos6xcosx?12cos4xcosx?30cos2xcosx?20cosx7
?cos7x?cos5x?6cos5x?6cos3x?15cos3x?15cosx?20cosx
?cos7x?7cos5x?21cos3x?35cosx.评述：本题看似“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷. 另本题也可利用复数求解. 令
11z?cos??isin?,则2cos??z?,从而,128cos7??(z?)7，展开即可.
zz 已知1?tan??2001,求证:sec2??tan2??2001.1?tan?例11
1?tan?1?cos(?2?)1?tan?1?sin2??2证明：sec2??tan2????tan(??)?1?tan??2001.
?cos2?41?tan?sin(?2?)2?2001.??例12 证明：对任一自然数n及任意实数x?m?(k?0,1,2,?,n,m为任一整数）， k2有
111n?????cotx?cot2x.nsin2xsin4xsin2x
思路分析：本题左边为n项的和，右边为2项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，并希冀能消去其中许多
中间项.
12cos2x?cos2x2cos2xcos2x证明：????cotx?cot2x,
sin2xsin2x2sinxcosxsin2x11n?1n?cot2x?cot2x ?cot2x?cot4x …… nsin2xsin4x评述：①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得.
②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题：
同理
tan?tan2??tan2?tan3????tan(n?1)?tann??tann??n. tan?tan??2tan2??22tan22????2ntan2n??cot??2n?1cot2n?1?. 111???????cos1cot1??????cos0cos1cos1cos2cos88cos89例13 设?ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c成等比数列，则
sinAcotC?cosA 的取值范围是（ ）
sinBcotC?cosB 6
5?15?15?15?1) C. (,) D. (,??) 2222sinAcotC?cosAsinAcosC?cosAsinC[解] 设a,b,c的公比为q，则b?aq,c?aq2，而 ?sinBcotC?cosBsinBcosC?cosBsinCA. (0,??) B. (0, ?sin(A?C)sin(??B)sinBb????q．
sin(B?C)sin(??A)sinAa因此，只需求q的取值范围．
因a,b,c成等比数列，最大边只能是a或c，因此a,b,c要构成三角形的三边，必需且只需a?b?c且
b?c?a．即有不等式组
?1?55?1?q?,22???a?aq?aq,??q?q?1?0,?22即?解得? ?22???aq?aq?a?q?q?1?0.?q?5?1或q??5?1.??22从而5?15?15?15?1?q?，因此所求的取值范围是(,)．故选C 2222例14 △ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1，
AA1?cos
则A．2
ABC?BB1?cos?CC1?cos222的值为（ ） sinA?sinB?sinCB．4
C．6
D．8
解：如图，连BA1，则AA1=2sin(B+
AA?B?CBCBC)?2sin(??)?2cos(?) 222222ABCAA?B?CA?C?B??AA1cos?2cos(?)cos?cos?cos?cos(?C)
2222222?cos(?B)?sinC?sinB,同理BB1cosB?sinA?sinC,CC1cosC?sinA?sinB, 222ABC2(sinA?sinB?sinC)?AA1cos?BB1cos?CC1cos?2(sinA?sinB?sinC),原式=?2.选A.
222sinA?sinB?sinCkkk?例15 若对所有实数x，均有sinx?sinkx?cosx?coskx?cos2x，则k?（ ）.
A、6； B、5； C、4； D、3．
解：记fk?x??sinx?sinkx?ckosx?coks?xk s，则由条件，f?x?恒为0，取x?cox2?2
，得
??k?k?sin????1，则k为奇数，设k?2n?1，上式成为sin?n?????1，因此n为偶数，令n?2m，则
2?2?k?4m?1，故选择支中只有k?3满足题意．故选D
例16 已知f?x??x2?a2?b2?1x?a2?2ab?b2是偶函数，则函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值是
A．2 B. 2 C. 22 D. 4 解：由已知条件可知，a?b?1?0，函数图象与y轴交点的纵坐标为a?2ab?b。令a?cos?,b?sin?，
7
2222??
则a?2ab?b?cos??2sin?cos??sin??cos2??sin2??例17 已知?,??R，直线
22222。因此 选 A。
xyxy??1与??1
sin??sin?sin??cos?cos??sin?cos??cos?的交点在直线y??x上，则sin??cos??sin??cos?? 。 解：由已知可知，可设两直线的交点为(x0,?x0)，且sin?,cos?为方程
x0?x0??1，
t?sin?t?cos?2的两个根，即为方程t?(cos??sin?)t?sin?cos??x0(cos??sin?)?0的两个根。
因此sin??cos???(sin??cos?)，即sin??cos??sin??cos??0。 1、cos(1?x?5x?7?2、已知函数f(x)?2x2?5x?6)＝ 。
sin(πx)?cos(πx)?215(?x?)，则f(x)的最小值为_____。 44x3、已知
tan(???)sin(??2?)1?的值是_ __. ?3，且??k?,????n??(n,k?Z)。则
tan?sin?224、设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(x?c)=1对任意实数x恒成立，则5、设0
bcosc= a?2(1?cos?)的最大值。
6、求证：3tan18??tan18?tan12??3tan12??1. 7、已知a0=1, an=1?an?12?1an?1(n∈N+)，求证：an>
?2n?2.
sin?.cos??A
9、若A，B，C为△ABC三个内角，试求sinA+sinB+sinC的最大值。 8、已知sin??Asin(???),|A|?1,求证:tan(???)?10、证明：sin??sin(???)?sin(??2?)???sin(??n?)?sin(??nn?1?)sin?22.sin?2x
?cos???cos??????11、已知α，β为锐角，且x·（α+β-）>0，求证：???2. ??2?sin???sin??12、求证：①cos6?cos42?cos66?cos78??x1451 ②sin1°sin2°sin3°…sin89°=()?610.
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全国高中数学竞赛专题-三角恒等式与三角不等式 实战演练答案
1、解：根据题意要求，x?5x?6?0，0?x?5x?7?1。于是有x?5x?7?1。因此
222cos(1?x2?5x?7?x2?5x?6)?cos0?1。因此答案为 1。
π2sin(πx?)?215π1542、解：实际上f(x)?(?x?)，设g(x)?2sin(πx?)(?x?)，则g(x)≥0，g(x)44444x3131335在[,]上是增函数，在[,]上是减函数，且y=g(x)的图像关于直线x?对称，则对任意x1?[,]，存在
44444443535g(x1)?2g(x2)?2g(x2)?2x2?[,]，使g(x2)=g(x1)。于是f(x1)????f(x2)，而f(x)在[,]上是减
4444x1x1x2454515，即f(x)在[,]上的最小值是。 5544sin(??2?)1?1[sin(??2?)?sin?]tan(???)sin(???)?cos?23?1sin??????2. 3、解：
1sin(??2?)tan?cos(a?b)?sin?3?1[sin(??2?)?sin?]?12sin?14、解：令c=π，则对任意的x∈R，都有f(x)+f(x?c)=2，于是取a?b?，c=π，则对任意的x∈R，af(x)+bf(x?c)=1，
2bcosc由此得??1。
aπ2一般地，由题设可得f(x)?13sin(x??)?1，f(x?c)?13sin(x???c)?1，其中0???且tan??，
23于是af(x)+bf(x?c)=1可化为13asin(x??)?13bsin(x???c)?a?b?1，即
函数，所以f(x)?f()?5413asin(x??)?13bsin(x??)cosc?13bsinccos(x??)?(a?b?1)?0，
所以13(a?bcosc)sin(x??)?13bsinccos(x??)?(a?b?1)?0。
?a?bcosc?0(1)?(2)， 由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有?bsinc?0?a?b?1?0(3)?若b=0，则由(1)知a=0，显然不满足(3)式，故b≠0。所以，由(2)知sinc=0，故c=2kπ+π或c=2kπ(k∈Z)。当
c=2kπ时，cosc=1，则(1)、(3)两式矛盾。故c=2kπ+π(k∈Z)，cosc=?1。由(1)、(3)知a?b?5、【解】因为0
??>0, cos>0. 222?2?????2??cos2?cos2??2sin222?=16?43. ≤2??2793??????
3 9
当且仅当2sin2
2243????=cos2, 即tan=, ?=2arctan时，sin(1+cos?)取得最大值。
2922222????6、思路分析：等式左边同时出现tan18tan12、tan18?tan12，联想到公式tan(???)?证明：3tan18??tan18?tan12??3tan12?
????tan??tan?.
1?tan?tan??3(tan18??t?3(tan18??tan12?)?tan18?tan12? ?tan(18???3???????3?tan(18?12)(1?tan18tan12)?tan18tan12?3(tan18?tan12)?tan18tan12?1?3?tan(18??12?)(1?tan18?tan12?)??1tan18?tan12??1评述：本题方法具有一定的普遍性. 仿此可证(1?tan1)(1?tan2)?(1?tan43)(1?tan44)?2等.
????227、【证明】 由题设知an>0，令an=tanan, an∈?0,????， 2??则an=
1?tan2an?1?1tanan?1?secan?1?11?cosan?1a??tann?1?tanan.
2tanan?1sinan?1na1????1?因为n?1，an∈?0,?，所以an=an?1，所以an=??a0.
22?2??2????1?又因为a0=tana1=1，所以a0=，所以an???·。
44?2????又因为当0
222注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。另外当x∈?0,知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。
8、分析：条件涉及到角?、???，而结论涉及到角???，?.故可利用??(???)??或??(???)??消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A”入手.
证法1： ?sin??Asin(???), ?sin(?????)?Asin(???),
n????时，有tanx>x>sinx，这是个熟?2?sin(???)cos??cos(???)sin??Asin(???),?|A|?1,
?cos??A?0,sin(???)(cos??A)?sin?cos(???), 从而cos(???)?0, ?|A|?1,?|A|?1,sin??cos??A?0,tan(???)?.?|A|?1,?cos??A?0,从而cos(cos??A???)?0,sin(???)sin??cos??A?0,从而cos(???)?0,?sin?sin(???)sinsin?? 证法2：sin???tan(???)?cos?sin(???)?sin[(???)??]cos(???)?sin0,?sincossin从而??A?sin(???cos)?sin????Asin(???)sin?cos?????)?tan(sin(???)sin??sin(?)??Asin???cos?cos?sin(???)?sin[(???)??]tan(???)?cos(???)sin ?cos??Asin(???)sin?sin(???)sin????tan(???).cos?sin(???)?sin[(???)??]cos(???)sin?sin(???sinA)?B?A?BA??Btan(???).?9、【解】 因为sinA+sinB=2scos(?in??)2sinco?s2?2sin2, ①
?tan(???). 10
全国高中数学竞赛专题-三角函数
