第四章 变换 z4.1 求下列序列的z变换，包括收敛域：
n
1????nu?? （a）
2??
2??n1??
??1?n??u?? b） （
2??n1??
??n?u?? （c）
???n (d) ?
???1n? （e） ????1n? （f）
n
1????????10nn?u?u?? ） （g
2??n?111????
?
n?
?z??zX?z ?? 收敛域为； 解：
(a) （ b
122??1?z?10n? 2nn?1?1112z??????
??
n?n
???z????Xzz?????? ）
1z221?2????1?z1?1?n??n? 21?z ； 收敛域为
n?n
21?1z??nn?0111
????2??
??
????X?zz?z???? c （）
1z21?22????1?z1?0n????n 21 z?收敛域为 2??????n???z?Xnz?1z平
面；收敛域为整个 （ d） ?
??n??
?????
?n
?n?1
?z?1nz???zX z?0； ）e （ 收敛域为 ?
???n 1 ?
?
?????
??
1?
n10?9
??z1?z?znX? 0?z??；收敛域为 （f） ?
??n?
121?z?????n??zz??Xz?0 ??；收敛域为 g （）
??2z21???0n?n0?n?N?1????xn 变换4.2 求序列
z?nNN???N?1?
0?n?1n
???????
?n?1
n?n?n?
Nzz?nXnzz??x 解：N???nn?0n?1N?N?1????
z0?n
??
??nn?1
nz??Yzz?nz? 令
??
1N?
zY
?
z?)(?n?
????
N1??11?N1N?N?1
z?1z?zz1Y??
?????d?zd???z???n
n1??n?
zz1?
z?1zz?11?n?n?1??????1NNN1???????1?z?zzNzd1N?1Y????? ??
??z1?zdz?1????
2
z
1?N2?N
?Nzzz?N?1????Yz
n?
??2z?1?N1?N?Nzz
?1
??N?Nz? 而
z?11?zNn???1?N2?N1?N1?Nz?N?1zzNzz?Nz?????X?z?
????221z?z?11?z?z可以为复求下列每个序列的变换，
包括收敛域，并画出零极点图。全部以闭式表示，4.3数。
n
?? 10???[]nx a （）， a10?n?N?1??n?Nx[n]?0 b） （ ?b?0?n0? 2
Nn?n0???N??n21?nN?2N??[xn] c） （?cn?20N??0n?0???????1z
nnnn?
???
???[n]}?(??)(??zz){??x ）（a解 :
a1???z?z1z1?0n?1n?n???2?)?z(11??
?z?) ( ???)?z)((1?z零极点图如下：
Im
Z平面01Re?1? ?
?N1N???
z1?
??
n?n?
??x[nx?{[]}?n]z?z? (b)
bb?1z1?0??n?n? z?0，零极点图如下：
Im
Z平面(N-1)阶极点单位圆1Re 是一个三角序列]n[x?(c) c 3
题中的序列)是(bN],x[n]]?(2N?n)x[n??x[n]?nx[n变换性Z。由 bbcb 质：
ddN??N]zX(zz)?z)??z?{x[n]}??z?[(?Xz)?2N?X(Z
bcbb
dzdz2N???1?1?N?Nz)?z?1?zz)Nz?(1(1N1?N?)?zz?(z?N??
2?1?1)z1?z1?(
??
2N
z1?? ??
212N?
z?1z0z? ，零极点图如下：
ImZ平面(2N-1)阶极点单位圆1Re(N-1)个二阶零点
)zX(Z ，求下列每个a）勿需显式解出变换的收敛域。4.4 （nn]10n?)]u[)x[n]?[(?(31 i）（4210n?1?10???n]x[ ii）（?else0?n]n[2u?x[n]? ）（iii ）上述序列中哪些傅里叶变换收敛？（b
解： ）（ann]?10]u[n)x[n]?[(?()31 （i）42
????
10101?1?
zz 313 24??zX()?zROC。：
1?1?4zz11??311 42 4
1?10?n?10??]x[n （ii）?else0?21z1?1010??9?10 z??z??X(z)?zz??0z?z?ROC。： 且
z1?nx[n]?2u[?n] （iii）?n1??][?n[n]?ux 即：?? 2??n1???][n[n]?xu?? 设，两者
类比，可得：
2??11? z?2?X(z)?X)(ROC。 ：
1Zz1?
2???????0xx?n0x0n0n? 是一个因果序列，即令 。另假定，4.5 ?
????zXzXlim?z?非零且有限。处，即没有极点或零点在 (a) 证明
明在有限平面极点数等于零点数。（有限z?
0?n
z??
z??。平面不包括） z(b) 证
?????
?n
z?nzxX? ） 解：（a
????????
??12n?
?x2zzn?x?0??x1?z??x ?
??z
z??N
i0
1i?
?????0?xlimX0z? ??zXlim?非零且有限。 ??zz?a???
点数，，其中假设（b） 由（z??
?zXNM为极点数，为零
M
z??
??zzb????zXlimN?M? ）知，，所以不趋于a
pi1?i
???z0limXN?M 又，所以
N?M? 即零点数等于极点数。
4.6考虑z变换,其零极点图如图4.6所示.
5
Im
Z 平单位R3图P4.6 ?
????zXa的收敛域,,确定 并确定这时的序列是右边,左边或双边序若已知傅立叶变换存在列. ?
??b有多少可能的双边序列都有如图P4.2 所示的零极点图? ?
??c对于图P4.6所示的零极点图有无可能有一个既稳定又因果的序列与其对应?若有,请给
出相应的收敛域.
1??zX ?z?2，由于收敛域是一个圆盘，所解：（a）若包含单位圆，则的收敛域只能为 3 以
序列为双边序列。 ）由极零图可知 （b393?z?1
5102?????X?z
33??
113z?z?2???????zz?z?2z?3??
根据收敛域不同可能有4种序列：
1??nx ?z为左边序列, 此时 1) 33193
n1?1n?
nn
31 ?z?2 2)
????????????1?u??n?1??3nu?xnu?n??2
n21053
??393????n1??nu?un??2???
5210??2?z?3 3)
6
3193
n1?n?1
??????????1uux?nn??????u3n??2n
nn
n21053
??339????n1u???2u?nn????
5210?? z?3 为右边序列4).
综上可知只有2),3)两种可能的双边序列.
?
????nx?0,n即?0,nx为右边序列.
(c) 若为因果序列,则
z?3这个收敛域此时只可能取 ,
3193??????nnnx3nu????2?? ??
n
n10523??????nnn??32193????n
10253??3319????nn32???lim??limx?n??
?lim?????3??????
??n?
n2105323??????n????3n???3?lim 2??n?
????x?n?
?
??nx不稳定,所以不可能有一个既因果又稳定的序列与其对应.
)1z1?3?z)(X(z)?(1?2z)(
因此
4.7z变换的序列：求具有如下 ?
?1?1
3)(z?1)(1?2z)(z? 1??1?)?3zz)(1?X(z)?(12z)(1??:解 2z?1?2z3z?2?z?6?4
1?????[n?21]?3]]?6[n]?4n[?1n)][?ZX(z?x[]?2[n?
Z反变换。 分别用部分分式展开法和幂级数展开法，求下列各式的4.8 11?z?zX() ）a（ ， 121?z1? 2 7
1?1z1?1 2?z ?XZ)( ）（c
?z?)X(Z （d ）
1?
121?z1? 211 z??)z(X b（ ）
13221??z1?z? 8411?z1?1 2
121?z?1 41?az1? ?)X(Zz?1/a （e）
121?z?1 2部分式展开：
az?11 ?z?)zX( ， 解：（a）
11n x[n]?(?)z?u[n]。在时， 22幂级数展开：
12222?1z?1
11111?1?12?1n?z??((?z?z))?1?(?z??)? 时，在
21n][n(?)ux[n]? 即： 211?z?)X(z （b） 121?z?1 2部分式展开：
11n x[n]??(?)uz?[?n?1]。在 时， 22幂级数展开：
n?2??1
11111??????2n ???zz??z??z???????时， 在
12222??????1?z?1
21n]n?1(?)u[?]x[n?? 即： 21?1z1?1 2 ?z?)X(Z （c）
1322?1?zz?1? 112?11?1?z1?z
84 部分式展开：431 ?z?Z)?(X 时， 24 8
11??nn]n?(?)?u[?x[n]?4?(?)3 即：??
1121?1?z??z11
341 ?z?)?X(Z 时， 42?? 幂级数展开：
421111????n?n1??1??)??()?3??1?(?z)?41?(?z)z??(?z????
42??11??z11 2
???? 4224????11??nn][n(?)?3?(?)?ux[n]?4? 即：??
离散时间信号处理奥本海姆第二版课后答案第四章
