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【2019最新】精选高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第2节平面向量的基本定理及坐标表示教师用书文新人教A版
———————————————————————————————— [考纲传真] 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
1.平面向量基本定理
(1)定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
(2)基底:不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,该平面内的任一向量a可表示成a=xi+yj,由于a与数对(x,y)是一一对应的,把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中a在x轴上的坐标是x,a在y轴上的坐标是y.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2), λa=(λx1,λy1),|a|=.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1), ||=.
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4.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.a,b共线?x1y2-x2y1=0. 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( )
(2)在△ABC中,设=a,=b,则向量a与b的夹角为∠ABC.( )
(3)若a,b不共线,且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.( ) (4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可以表示成=.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,3),那么|a+b|等于 ( ) A.5 C.
B. D.13
B [因为a+b=(2,-1)+(1,3)=(3,2),所以|a+b|==.]
3.(2015·全国卷Ⅰ)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=( ) A.(-7,-4) C.(-1,4)
B.(7,4) D.(1,4)
A [=(3,2)-(0,1)=(3,1),
→
BC=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).
故选A.]
4.(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=________. -6 [∵a=(m,4),b=(3,-2),a∥b, ∴-2m-4×3=0,∴m=-6.]
5.(教材改编)已知?ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为________.
(1,5) [设D(x,y),则由=,得(4,1)=(5-x,6-y), 即解得]
平面向量基本定理及其应用 (1)如果e1,e2是平面α内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,2019年
不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ( )
A.e1与e1+e2 B.e1-2e2与e1+2e2 C.e1+e2与e1-e2 D.e1+3e2与6e2+2e1
(2)(2016·山西晋中四校联考)在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=________.
(1)D (2) [(1)选项A中,设e1+e2=λe1,则无解; 选项B中,设e1-2e2=λ(e1+2e2),则无解; 选项C中,设e1+e2=λ(e1-e2),则无解;
选项D中,e1+3e2=(6e2+2e1),所以两向量是共线向量. (2)选择,作为平面向量的一组基底,则=+,=+,=+, 又=λ+μ=+,
2λ=,??3
于是得解得?2
μ=??3,
所以λ+μ=.]
[规律方法] 1.利用平面向量基本定理表示向量时,要选择一组恰当的基底来表示其他向量,即用特殊向量表示一般向量.
2.利用已知向量表示未知向量,实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算,在解题时,注意方程思想的运用.如解答本题(2)的关键是根据平面向量基本定理列出关于λ,μ的方程组.
[变式训练1] 如图4-2-1,在梯形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC,E,F分别为线段AD与BC的中点.设=a,=b,则=________,=________,=________(用向量a,b表示).
图4-2-1
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1
b-a 3
b-a a-b [=++=-b-a+b=b-a,=+=-b+=b-a,=+=-b-=a-b.]
平面向量的坐标运算 已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,
=-2b,
(1)求3a+b-3c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n; (3)求M,N的坐标及向量的坐标.
[解] 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).2分 (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).5分 (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n), ∴解得8分
(3)设O为坐标原点.∵=-=3c,
∴=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20). ∴M(0,20).10分 又∵=-=-2b,
∴=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), ∴N(9,2),∴=(9,-18).12分
[规律方法] 1. 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.常利用向量相等则其坐标相同列方程(组)求解.
2.平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”,实质是“形”化为“数”.向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来.
[变式训练2] (2017·合肥三次质检)已知a=(1,t),b=(t,-6),则|2a+
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b|的最小值为________.
2 [由条件得2a+b=(2+t,2t-6),所以|2a+b|==,当t=2时,|2a+b|的最小值为2.]
平面向量共线的坐标表示 (1)已知向量a=(-1,1),b=(3,m),若a∥(a+b),则m=( ) A.-2 C.-3
B.2 D.3
(2)已知梯形ABCD,其中AB∥CD,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为________.
(1)C (2)(2,4) [(1)由题意可知a+b=(2,1+m), ∵a∥(a+b),
∴2+(m+1)=0?m=-3. (2)∵在梯形ABCD中,DC=2AB, ∴=2.设点D的坐标为(x,y), 则=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y).
→
AB=(2,1)-(1,2)=(1,-1),
∴(4-x,2-y)=2(1,-1), 即(4-x,2-y)=(2,-2),
??x=2,
∴解得?
??y=4,
故点D的坐标为(2,4).]
[规律方法] 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式:(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0;(2)若a∥b(a≠0),则b=λa.
2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例求解.
[变式训练3] (1)(2017·郑州模拟)已知向量a=(1-sin θ,1),b=,若a∥b,则锐角θ=________.
2020高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第2节平面向量的基本定理及坐标表示教师用书文新
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