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第八节 解三角形实际应用举例
[考纲传真] (教师用书独具)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
(对应学生用书第64页)
[基础知识填充]
1．仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图3-8-1(1))．
(1) (2)
图3-8-1
2．方位角和方向角
(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图3-8-1(2))．
(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．
3．坡度
坡面与水平面所成二面角的正切值．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )
?π?(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为?0，?.( )
2??
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( )
?π?(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是?0，?.( )
2??
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC等于( )
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A．103 n mile C．52 n mile D [如图，在△ABC中，
106B． n mile
3D．56 n mile
AB＝10，∠A＝60°，
∠B＝75°，∠C＝45°， ∴
10＝，
sin 60°sin 45°
BC∴BC＝56.]
3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( )
A．北偏东15° C．北偏东10°
B [如图所示，∠ACB＝90°，
B．北偏西15° D．北偏西10°
又AC＝BC，
∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°， ∴点A在点B的北偏西15°.]
4．如图3-8-2，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点
C，测得AC＝50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为( )
图3-8-2
A．503 m B．253 m C．252 m
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D．502 m
D [因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠B＝30°.由正弦定理可知＝，
sin Bsin C50AB即＝，解得AB＝502 m．] sin 30°sin 45°
5．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是________ n mile. 70 [设两船之间的距离为d，
则d＝50＋30－2×50×30×cos 120°＝4 900， 所以d＝70，即两船相距70 n mile.]
(对应学生用书第64页)
2
2
2
ACAB 测量距离问题 如图3-8-3，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)
【导学号：79140136】
图3-8-3
60 [如图所示，过A作AD⊥CB且交CB的延长线于D．
在Rt△ADC中，由AD＝46 m，∠ACB＝30°得AC＝92 m. 在△ABC中，∠BAC＝67°－30°＝37°， ∠ABC＝180°－67°＝113°，AC＝92 m， 由正弦定理＝，得
sin ∠ABCsin ∠BACACBC你是我心中最美的云朵你是我心中最美的云朵你是我心中最美的云朵你是我心中最美的云朵
高考数学一轮复习： 第3章 三角函数、解三角形 第8节 解三角形实际应用举例
