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椭圆焦点三角形四心的轨迹
北京市日坛中学延静里校区 邱继勇 100025
对椭圆的焦点三角形的研究,是考察学生基础知识、基本技能、基本方法和三者综合运用能力的重要载体,是历年高考和高考复习的重要内容;同时,利用几何画板绘制动态图形的功能,可以为研究几何图形性质提供更加简洁的思路,可以更好的体现几何学的本质.
x2y2下面介绍利用几何画板,研究椭圆:2?2?1(a?b?0)焦点三角形四心轨迹的
ab过程.
x2y2一、椭圆:2?2?1(a?b?0)焦点三角形内心的轨迹及其方程:
ab利用几何画板,先画出它的轨迹,再求它的方程.
?x?acos?⒈ 利用参数方程,绘制椭圆C:?.
?y?bsin?⒉ 绘制点P(acos?,bsin?),并且作出焦点三角形F1PF2,如图(1). ⒊ 作出∠F1PF2和∠PF1F2角平分线,设交点为I,如图(2). ⒋ 使点P在椭圆上运动,观察点I的运动轨迹,如图(3).
图(1) 图(2) 图(3)
⒌ 下面求它的轨迹方程:
解:如图(4),设点P?x0,y0?,内心I为(x,y),焦点
F1(?c,0)、F2(c,0),PF1?r1,PF2?r2,则r1?r2?2ex0.
过内心I作ID、IE、IF垂直F1F2、F1P、PF2于点D、E、F.
∵ 点I是△F1F2P的内心,点D、E、F是内切圆的切点, 图(4)
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?PE?F1E?r1?∴ 由切线长定理,得方程组:?PF?F2F?r2,
?FD?FD?2c2?1结合r1?r2?2ex0,解得:F1D?c?ex0. 而F1D?c?x, ∴ x?ex0 ,既x0?又∵ △F1F2P面积S?cy0,S?∴cy0?(a?c)y,既y0=
x.………………………………① e1(F1F2?PF1?PFF)y?(a?c)y, 2a?cy.………………………… ……………② c22x0y0x2y2将①②代入2?2?1(a?b?0),得2??1.
abcb2c2(a?c)2x2y2可知,椭圆2?2?1(a?b?0)焦点三角形内心的轨迹是一个椭圆,它的离心率
ab是
2e
. 1?e
x2y2二、椭圆:2?2?1(a?b?0)焦点三角形重心的轨迹及其方程:
abx2y2椭圆:2?2?1(a?b?0)焦点三角形重心的轨迹仍
abx2y2是一个椭圆,如图(5),它的离心率与2?2?1(a?b?0)的离
ab9x29y2心率相同,方程为2?2?1(a?b?0).解法略去. 图(5)
abx2y2三、椭圆:2?2?1(a?b?0)焦点三角形垂心的轨迹及其方程:
ab我们还是利用几何画板,先画出它的轨迹,再求它的方程.如图(6).
它的轨迹是关于原点对称的两条抛物线吗?我们通过它的方程来回答这个问题.
图(6)
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解:如图(7),设点P(x0,y0),垂心H为(x,y),焦点F1(?c,0)、F2(c,0),则F1H?(x?c,y),
PF2?(c?x0,?y0).
∵F1H⊥PF2,
∴(x?c,y)g(c?x0,?y0)=0. 图(7) 又 ∵x?x0,
∴ c2?x2?yy0?0.……………………………………..①
22x0y0而2?2?1(a?b?0), abb22b222∴y?2(a?x0)?2(a?x2)……………………….②
aa20将②式代入①式,整理得: y??a(c2?x2)ba?x22.
由方程可以看出,椭圆焦点三角形垂心的轨迹不是两条抛物线,它与哪些初等函数图象有关?请大家思考.
x2y2四、椭圆:2?2?1(a?b?0)焦点三角形的外心的轨迹及其方程
abx2y2由于y轴是椭圆2?2?1(a?b?0)焦点三角形的一条边的中垂线,所以,可以
ab判断出外心的轨迹是y轴或y轴的一部分,利用几何画板画出的轨迹图形可以说明这一点,如图(8).
下面求焦点三角形外心W的运动范围.
解:设点P?acos?,bsin??,外心W为(0,y),焦点
F1(?c,0)、F2(c,0).
由WP?WF2,得:c2?y2?(acos?)2?(y?bsin?)2. 图(8)
22b?cbcsin?|y|??整理,得:y?().
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x2y2可知,椭圆:2?2?1(a?b?0)焦点三角形的外心的轨迹或者是y轴,或者是yab轴上的两条射线.
x2y2从上面求椭圆:2?2?1(a?b?0)焦点三角形的四心的轨迹及其方程的过程来
ab看,比较充分的体现了“利用方程研究图形”的解析几何基本内容;显示了几何画板在研究几何问题中,直观、生动、引发思考的巨大作用.事实上,通过对课件的观察,我们还可以得到更多的、开放性的问题,如欧拉线的问题等,这里不在讨论,请读者通过链接的课件的自己研究.
焦点三角形的四心.gsp
操作步骤: (以内心轨迹形成为例)
⒈ 点击 内心 出现三角形的角平分线和内心“ I”
⒉ 点击
⒊ 再点击
⒋ 再点击
内心运动 对象运动 对象出现点P运动,并角平分线交点“I”形成内心轨迹.
停止运动,可以观察图形性质.
角平分线及交点“I”隐藏.
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