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椭圆焦点三角形四心的轨迹
北京市日坛中学延静里校区 邱继勇 100025
对椭圆的焦点三角形的研究，是考察学生基础知识、基本技能、基本方法和三者综合运用能力的重要载体，是历年高考和高考复习的重要内容；同时，利用几何画板绘制动态图形的功能，可以为研究几何图形性质提供更加简洁的思路，可以更好的体现几何学的本质．
x2y2下面介绍利用几何画板，研究椭圆：2?2?1(a?b?0)焦点三角形四心轨迹的
ab过程．
x2y2一、椭圆：2?2?1(a?b?0)焦点三角形内心的轨迹及其方程：
ab利用几何画板，先画出它的轨迹，再求它的方程．
?x?acos?⒈ 利用参数方程，绘制椭圆C：?．
?y?bsin?⒉ 绘制点P(acos?,bsin?)，并且作出焦点三角形F1PF2，如图（1）． ⒊ 作出∠F1PF2和∠PF1F2角平分线，设交点为I，如图（2）． ⒋ 使点P在椭圆上运动，观察点I的运动轨迹，如图（3）．
图（1） 图（2） 图（3）
⒌ 下面求它的轨迹方程：
解：如图（4），设点P?x0,y0?，内心I为(x,y)，焦点
F1(?c,0)、F2(c,0)，PF1?r1，PF2?r2，则r1?r2?2ex0．
过内心I作ID、IE、IF垂直F1F2、F1P、PF2于点D、E、F．
∵ 点I是△F1F2P的内心，点D、E、F是内切圆的切点， 图（4）
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?PE?F1E?r1?∴ 由切线长定理，得方程组：?PF?F2F?r2，
?FD?FD?2c2?1结合r1?r2?2ex0，解得：F1D?c?ex0． 而F1D?c?x， ∴ x?ex0 ，既x0?又∵ △F1F2P面积S?cy0，S?∴cy0?(a?c)y，既y0=
x．………………………………① e1(F1F2?PF1?PFF)y?(a?c)y， 2a?cy．………………………… ……………② c22x0y0x2y2将①②代入2?2?1(a?b?0)，得2??1．
abcb2c2(a?c)2x2y2可知，椭圆2?2?1(a?b?0)焦点三角形内心的轨迹是一个椭圆，它的离心率
ab是
2e
． 1?e
x2y2二、椭圆：2?2?1(a?b?0)焦点三角形重心的轨迹及其方程：
abx2y2椭圆：2?2?1(a?b?0)焦点三角形重心的轨迹仍
abx2y2是一个椭圆，如图（5），它的离心率与2?2?1(a?b?0)的离
ab9x29y2心率相同，方程为2?2?1(a?b?0)．解法略去． 图（5）
abx2y2三、椭圆：2?2?1(a?b?0)焦点三角形垂心的轨迹及其方程：
ab我们还是利用几何画板，先画出它的轨迹，再求它的方程．如图(6)．
它的轨迹是关于原点对称的两条抛物线吗？我们通过它的方程来回答这个问题．
图(6)
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解：如图（7），设点P(x0,y0)，垂心H为(x,y)，焦点F1(?c,0)、F2(c,0)，则F1H?(x?c,y)，
PF2?(c?x0,?y0)．
∵F1H⊥PF2，
∴(x?c,y)g(c?x0,?y0)=0． 图（7） 又 ∵x?x0，
∴ c2?x2?yy0?0．……………………………………..①
22x0y0而2?2?1(a?b?0)， abb22b222∴y?2(a?x0)?2(a?x2)……………………….②
aa20将②式代入①式，整理得： y??a(c2?x2)ba?x22．
由方程可以看出，椭圆焦点三角形垂心的轨迹不是两条抛物线，它与哪些初等函数图象有关？请大家思考．
x2y2四、椭圆：2?2?1(a?b?0)焦点三角形的外心的轨迹及其方程
abx2y2由于y轴是椭圆2?2?1(a?b?0)焦点三角形的一条边的中垂线，所以，可以
ab判断出外心的轨迹是y轴或y轴的一部分，利用几何画板画出的轨迹图形可以说明这一点，如图（8）．
下面求焦点三角形外心W的运动范围．
解：设点P?acos?,bsin??，外心W为(0,y)，焦点
F1(?c,0)、F2(c,0)．
由WP?WF2，得：c2?y2?(acos?)2?(y?bsin?)2． 图（8）
22b?cbcsin?|y|??整理，得：y?（）．
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x2y2可知，椭圆：2?2?1(a?b?0)焦点三角形的外心的轨迹或者是y轴，或者是yab轴上的两条射线．
x2y2从上面求椭圆：2?2?1(a?b?0)焦点三角形的四心的轨迹及其方程的过程来
ab看，比较充分的体现了“利用方程研究图形”的解析几何基本内容；显示了几何画板在研究几何问题中，直观、生动、引发思考的巨大作用．事实上，通过对课件的观察，我们还可以得到更多的、开放性的问题，如欧拉线的问题等，这里不在讨论，请读者通过链接的课件的自己研究．
焦点三角形的四心.gsp
操作步骤： （以内心轨迹形成为例）
⒈ 点击 内心 出现三角形的角平分线和内心“ I”
⒉ 点击
⒊ 再点击
⒋ 再点击
内心运动 对象运动 对象出现点P运动，并角平分线交点“I”形成内心轨迹．
停止运动，可以观察图形性质．
角平分线及交点“I”隐藏．
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