∵△ABC，△CMN为等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠MCN＝90°，AC＝BC，CM＝CN，∠CAB＝∠CBA＝45° ∴∠ACM＝∠BCN，且 AC＝BC，CM＝CN， ∴△ACM≌△BCN （SAS） ∴∠CAM＝∠CBN＝45°，AM＝BN． ∵∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠ABN＝45°+45°＝90°，即 AM⊥BN；
（2）如图，过点C作CE⊥AB于点E，过点N作NF⊥CE于点F，则FN∥AB
∵△MCN是等腰直角三角形 ∴CM＝CN，∠MCN＝90°
∴∠ECM+∠FCN＝90°，且∠ECM+∠CME＝90° ∴∠FCN＝∠CME，且CM＝CN，∠F＝∠CEM＝90° ∴△CNF≌△CME（AAS） ∴FN＝EC，EM＝CF
∵BC＝42，CE⊥AB，∠CBA＝45° ∴CE＝BE＝4，
∴FN＝BE＝CE，且FN∥BA
∴四边形FNBE是平行四边形，且∠F＝90° ∴四边形FNBE是矩形
21
∴∠CEM＝∠ABN＝90° ∴∠PMB+∠MPB＝90° ∵CM⊥MP
∴∠CME+∠PMB＝90°
∴∠CME＝∠MPB，且∠CEM＝∠ABN＝90° ∴△CEM∽△MBP
BPMB? EMCE(4?BM)BM1∴BP＝＝﹣（BM﹣2）2+1
44∴
∴当BM＝2时，BP有最大值为1． 故答案为：2，1 【点睛】
本题为三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，二次函数的性质及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．
21．为缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图（如
【答案】2.3米 【解析】 【分析】
根据锐角三角函数的定义，可在Rt△ABD中解得BD的值，进而求得CD的大小；在Rt△CDE中，利用正弦的定义，即可求得CE的值． 【详解】
在Rt△ABD中,AB=9,∠BAD=18°， ∴BD≈2.9.
∴CD=2.4.在Rt△CDE中,∠DCE=18°, ∴CE≈2.3(米). 【点睛】
本题考查解三角形的应用，解题的关键是将实际问题的信息合理利用.
22
AB于点E，F，22．如图，直线EF分别交△ABC的边AC，交边BC的延长线于点D，BF＝BC·BD．求证：AE·EC＝EF·ED． 且AB·
【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 由
＝
，∠B＝∠B，证得△ABC∽△DBF，得∠A＝∠D.又∠AEF＝∠DEC，再证
＝
EC＝EF·ED. ，即AE·
△AEF∽△DEC，可得【详解】
BF＝BC·BD， 证明：∵AB·∴
＝
，
又∵∠B＝∠B， ∴△ABC∽△DBF， ∴∠A＝∠D.
又∵∠AEF＝∠DEC， ∴△AEF∽△DEC， ∴
＝
EC＝EF·ED ，即AE·
【点睛】
本题考核知识点：相似三角形的判定和性质. 解题关键点：熟记相似三角形的判定和性质.
23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE与BD相交于点G，AG：GE＝3：1．
（1）求EC：BC的值；
（2）设BA?a，AO?b，那么EC?________，GB?__________（用向量a、b表示）
23
uuurruuurruuuruuurrr2r4r1r1r【答案】（1）EC：BC＝2：3；（2）a?b，a?b．；
3322【解析】 【分析】
(1)根据平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理即可解决问题； (2)利用三角形法则计算即可； 【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，
ADAG??3， BEGEBC?3， ∴BE∴
∴EC：BC＝2：3．
（2）∵AO?b，AC＝2AO，
uuurruuurr∴AC?2b，
∵BC?BA?AC?a?2b，EC?uuuruuuruuurrr2BC， 3uuur2r4r∴EC?a?b，
33∵AD∥BE， ∴
BGEG1??， GDAG31BD， 4∴BG?uuuruuuruuuruuuruuurrrrrr∵BD?BA?AD?BA?BC?a?a?2b?2a?2b， uuur1r1r1rr∴BG?（2a?2b）?a?b，
4222r4r1r1r故答案为a?b，a?b．
2233【点睛】
本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
?1?
24．计算：3?2?(2018?1)?2sin45?2cos30????2018?0???1【答案】2019
24
【解析】 【分析】
原式第一项利用绝对值的性质化简，第二项依据零指数幂运算，第三项和第四项利用特殊角的三角函数计算，最后一项依据负整数指数幂运算，即可求解. 【详解】
原式＝3?2?1?2?【点睛】
此题考查了实数的混合运算和特殊角的三角函数值，掌握实数混合运算的顺序和相应法则是解答此题的关键.
25．定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，抛物线C1与抛物线C2组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1与抛物线C2与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B且点A的坐标为（0，﹣3），抛物线C2的解析式为y＝mx2+4mx﹣12m，（m＞0）．
23?2??2018=3?2?1?2?3?2018=2019 22
（1）请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下．“月牙线”，直接写出两条抛物线的解析式；
（2）求M，N两点的坐标；
（3）在第三象限内的抛物线C1上是否存在一点P，使得△PAM的面积最大？若存在，求出△PAM的面积的最大值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）抛物线y＝﹣x2+2x+3与抛物线y＝﹣
122x+x+1所围成的封闭曲线即为33开口向下的“月牙线”；（2）M（﹣6，0），N（2，0）；（3）存在，点P的坐标为（﹣3，﹣
2715）时，△PAM的面积有最大值，最大值为． 44【解析】 【分析】
（1）根据定义，只要写出的两个抛物线与x轴有着相同的交点，且a的值为负即可；
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上海市2020年中考数学模拟试题(八)及答案解析
