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第二章 2.2 2.2.3 直线与平面平行的性质
A级 基础巩固
一、选择题
1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面BA1C1与直线AC的位置关系是 ( A )
A．AC∥截面BA1C1 C．AC在截面BA1C1内
[解析] ∵AC∥A1C1，又∵AC?面BA1C1， ∴AC∥面BA1C1.
2．如右图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则
B．AC与截面BA1C1相交 D．以上答案都错误
DE与AB的位置关系是 ( B )
A．异面 C．相交
B．平行
D．以上均有可能
[解析] ∵A1B1∥AB，AB?平面ABC，A1B1?平面ABC， ∴A1B1∥平面ABC.
又A1B1?平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，∴DE∥A1B1. 又AB∥A1B1，∴DE∥AB. 3．下列命题正确的是 ( D )
A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a∥直线b
B．若直线a∥平面α，直线a与直线b相交，则直线b与平面α相交 C．若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α
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D．若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点
[解析] A中，直线a与直线b也可能异面、相交，所以不正确；B中，直线b也可能与平面α平行，所以不正确；C中，直线b也可能在平面α内，所以不正确；根据直线与平面平行的定义知D正确，故选D．
4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面交底面三角形ABC的边BC、AC于点E、F，则 ( B )
A．MF∥NE
B．四边形MNEF为梯形 C．四边形MNEF为平行四边形 D．A1B1∥NE
[解析] ∵在?AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AM綊BN，∴MN綊AB.又MN?平面ABC，AB?平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN?平面MNEF，平面MNEF∩平面
ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，显然在△ABC中EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形．故选B．
5．如右图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是 ( A )
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
[解析] ∵EH∥FG，FG?平面BCD，EH?平面BCD， ∴EH∥平面BCD.
∵EH?平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD， ∴EH∥BD.
6．已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为 ( C )
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A．1 B．2
2
C．
23D．
2
12
[解析] 由PQ∥平面AA1BB知PQ∥AB1，又P为AO1的中点，∴PQ＝AB1＝.
22二、填空题
7．如图，a∥α，A是α的另一侧的点，B、C、D∈a，线段AB、AC、AD分别交平面α20于E、F、G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝____. 9
[解析] ∵a∥α，α∩平面ABD＝EG，∴a∥EG，即BD∥EG，
EGAFAF·BD5×420∴＝，则EG＝＝＝. BDAF＋FCAF＋FC5＋49
8．(2016·扬州高二检测)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是__l∥A1C1__.
[解析] ∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，AC?平面ABCD，
∴AC∥平面A1B1C1D1.
又平面ACB1经过直线AC与平面A1B1C1D1相交于直线l， ∴AC∥l. 三、解答题
9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G、H，求证：AB∥GH.
[解析] ∵E、F分别是AA1和BB1的中点，∴EF∥AB.
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又AB?平面EFGH，EF?平面EFGH， ∴AB∥平面EFGH. 又AB?平面ABCD，
平面ABCD∩平面EFGH＝GH，∴AB∥GH.
2
10．四棱锥P－ABCD的底面ABCD是梯形，AB∥CD，且AB＝CD.试问在PC上能否
3找到一点E，使得BE∥平面PAD？若能，请确定E点的位置，并给出证明；若不能，请说明理由.
[解析] 在PC上取点E，使
CE1＝， PE2
则BE∥平面PAD.
证明如下：延长DA和CB交于点F，连接PF. 梯形ABCD中，AB∥CD， 2AB＝CD.
3∴
ABBF2＝＝， CDFC3BC1＝. BF2
∴
CE1CEBC又＝，∴△PFC中，＝， PE2PEBF∴BE∥PF，
而BE?平面PAD，PF?平面PAD. ∴BE∥平面PAD.
B级 素养提升
一、选择题
1．a、b是两条异面直线，下列结论正确的是 ( D )
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A．过不在a、b上的任一点，可作一个平面与a、b平行 B．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b相交 C．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都平行 D．过a可以并且只可以作一个平面与b平行
[解析] A错，若点与a所确定的平面与b平行时，就不能使这个平面与a平行了． B错，若点与a所确定的平面与b平行时，就不能作一条直线与a，b相交． C错，假如这样的直线存在，根据公理4就可有a∥b，这与a，b异面矛盾． D正确，在a上任取一点A，过A点作直线c∥b，则c与a确定一个平面与b平行，这个平面是唯一的．
2．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a、b、c、…，那么这些交线的位置关系为 ( D )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点 C．都相交但不一定交于同一点 D．都平行或交于同一点
[解析] 若l∥平面α，则交线都平行； 若l∩平面α＝A，则交线都交于同一点A.
3．如图，在三棱锥S－ABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则 ( B )
A．EF与BC相交 C．EF与BC异面
B．EF∥BC D．以上均有可能
[解析] ∵EF?平面SBC，EF∥平面ABC，平面SBC∩平面ABC＝BC，∴EF∥BC. 4．不同直线m、n和不同平面α、β，给出下列命题： ①
α∥β?m?α?
??m∥β；②
m∥n?m∥β?
??n∥β；③
m?α?n?β?
??m、n异面．
其中假命题有 ( C ) A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
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[解析] ∵α∥β，∴α与β没有公共点． 又∵m?α，∴m与β没有公共点， ∴m∥β，故①正确，②③错误．
二、填空题5．已知A、B、C、D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，
AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG是__平行__四边形.
[解析] ∵AB∥α，平面ABD∩α＝FH，平面ABC∩α＝EG，
∴AB∥FH，AB∥EG，∴FH∥EG，同理EF∥GH，∴四边形EFHG是平行四边形． 6．(2016·成都高二检测)长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为8的正方形．E，F分别是侧棱AA1、CC1上的动点，AE＋CF＝8.P在棱AA1上，且AP＝2，若EF∥平面PBD，则CF＝__2__.
[解析] 连接AC交BD于O，连接PO.
因为EF∥平面PBD，EF?平面EACF，平面EACF∩平面PBD＝PO，所以EF∥PO，在PA1上截取PQ＝AP＝2，连接QC，则QC∥PO，所以EF∥QC，所以EFCQ为平行四边1
形，则CF＝EQ，又因为AE＋CF＝8，AE＋A1E＝8，所以A1E＝CF＝EQ＝A1Q＝2，从而
2
CF＝2.
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C级 能力拔高
1．如图所示，一平面与空间四边形对角线AC、BD都平行，且交空间四边形边AB、
BC、CD、DA分别于E、F、G、H.
(1)求证：EFGH为平行四边形； (2)若AC＝BD，EFGH能否为菱形？
(3)若AC＝BD＝a，求证：平行四边形EFGH周长为定值．
[解析] (1)∵AC∥平面EFGH，平面ACD∩平面EFGH＝GH，且AC?面ACD， ∴AC∥GH，同理可证，AC∥EF，BD∥EH，BD∥FG. ∴EF∥GH，EH∥FG.∴四边形EFGH为平行四边形． (2)设AC＝BD＝a，EH＝x，GH＝y，
AHm＝. HDn∵GH∥AC，∴GH︰AC＝DH︰DA＝DH︰(DH＋HA)． 即：y︰a＝n︰(m＋n)，∴y＝同理可得：x＝EH＝
a. m＋nnma. m＋n∴当AC＝BD时，若m＝n即AH＝HD时，则EH＝GH，四边形EFGH为菱形． (3)设EH＝x，GH＝y，
H为AD上一点且AH︰HD＝m︰n.
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∵EH∥BD，∴
EHAH＝. BDADxmm即＝，∴x＝a. am＋nm＋n同理：y＝
a，
m＋nn∴周长＝2(x＋y)＝2a(定值)．
2．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点E、F分别是棱CC1、BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置.
[解析] 若MB∥平面AEF，过F、B、M作平面FBMN交AE于N，连接MN、NF.因为BF∥平面AA1C1C，BF?平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN.
又MB∥平面AEF，MB?平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN，所以BFNM是平行四边形，
所以MN∥BF，MN＝BF＝1. 而EC∥FB，EC＝2FB＝2， 1
所以MN∥EC，MN＝EC＝1，
2故MN是△ACE的中位线．
所以M是AC的中点时，MB∥平面AEF.
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高中数学2.2.3直线与平面平行的性质课时作业新人教A版必修5
