高中数学选修2-1学案
1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词
[学习目标] 1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.
知识点一 全称量词和全称命题
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示.
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高中数学选修2-1学案
(2)全称命题：含有全称量词的命题叫做全称命题.全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”. 知识点二 存在量词和特称命题
(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示.
(2)特称命题：含有存在量词的命题叫做特称命题.特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为?x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”. [思考] (1)在全称命题和特称命题中，量词是否可以省略？ (2)全称命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？
[答案] (1)在特称命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略.
(2)元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“?x∈N，x≥0”.
题型一 全称量词与全称命题 例1 试判断下列全称命题的真假： (1)?x∈R，x2＋2>0； (2)?x∈N，x4≥1；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
解 (1)由于?x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“?x∈R，x2＋2>0”是真命题.
(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“?x∈N，x4≥1”是假命题.
(3)由于?α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立.所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命
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高中数学选修2-1学案 题.
反思与感悟 判定全称命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假. 跟踪训练1 试判断下列全称命题的真假： (1)?x∈R，x2＋1≥2； (2)任何一条直线都有斜率； (3)每个指数函数都是单调函数. 解 (1)由于?x∈R，都有x2≥0，
因而有x2＋1≥1，所以“?x∈R，x2＋1≥2”是假命题.
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(2)当直线的倾斜角为时，斜率不存在，所以“任何一条直线都有斜率”是假命题.
2(3)无论底数a>1或是0 题型二 存在量词与特称命题 例2 判断下列特称命题的真假： (1)?x0∈Z，x30<1； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)有一个实数α，tan α无意义； π(4)?x0∈R，cosx0＝. 2 解 (1)∵－1∈Z，且(－1)3＝－1<1， ∴“?x0∈Z，x30<1”是真命题. (2)真命题，如梯形. π (3)真命题，当α＝时，tan α无意义. 2π (4)∵当x∈R时，cosx∈[－1,1]，而>1， 2π ∴不存在x0∈R，使cosx0＝， 2π ∴“?x∈R，cosx0＝”是假命题. 2 反思与感悟 判定特称命题真假的方法：代入法：在给定的集合中找到一个元素x，使命题 3 高中数学选修2-1学案 p(x)为真，否则命题为假. 跟踪训练2 试判断下列特称命题的真假： 2 (1)?x0∈Q，x0＝3； 2(2)?x0，y0为正实数，使x20＋y0＝0； (3)?x0∈R，tan x0＝1； (4)?x0∈R，lgx0＝0. 解 (1)由于使x20＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3， 所以命题“?x0∈Q，x20＝3”为假命题. 222(2)因为x0>0，y0>0，所以x20＋y0>0，所以“?x0，y0为正实数，使x0＋y0＝0”为假命题. ππ (3)当x0＝时，tan ＝1，所以“?x0∈R，tan x0＝1”为真命题. 44(4)当x0＝1时，lg 1＝0，所以“?x0∈R，lgx0＝0”为真命题. 题型三 全称命题、特称命题的应用 例3 (1)若命题p：存在x0∈R，使ax20＋2x0＋a<0，求实数a的取值范围； (2)若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围. 2 解 (1)由ax20＋2x0＋a<0，得a(x0＋1)<－2x0， 2x022＋1>0，∴a<－∵x0＝－， 1x20＋1x0＋x01 当x0>0时，x0＋≥2，∴－ x0 ≥－1， 1x0＋x0 ≤1， 1x0＋ x0 22 1 当x0<0时，x0＋≤－2，∴－ x02 ∴－的最大值为1. 1x0＋ x0 又∵?x0∈R，使ax20＋2x0＋a<0成立， ∴只要a<1，∴a的取值范围是(－∞，1). (2)①当m＋1＝0即m＝－1时，2x－6<0不恒成立. ②当m＋1≠0，则 4 高中数学选修2-1学案 ????m<－1，?m＋1<0，?m<－1，13 ????综上，m<－. ?131123?m－1?<0，????Δ<0，?Δ＝?m－1?－4?m＋1?·?m<－11或m>1， 反思与感悟 有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别. 跟踪训练3 (1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围； (2)若命题p：1－sin 2x＝sin x－cosx是真命题，求实数x的取值范围. 解 (1)关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0， 77 解得a≥，∴实数a的取值范围为[，＋∞). 44(2)由得∴ 1－sin 2x＝sin x－cosx， sin2x＋cos2x－2sin xcos x＝sin x－cosx， ?sin x－cos x?2＝sin x－cosx， 即|sin x－cosx|＝sin x－cosx， ∴sin x≥cosx. π5π 结合三角函数图象得，2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，此即为所求x的取值范围. 44π5π 即p：?x∈[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)，有 44 1－sin 2x＝sin x－cosx是真命题. 1.下列命题中全称命题的个数是( ) 5
高中数学选修2-1学案：1.4.1全称量词-1.4.2存在量词
