热点难点微专题十四 新定义数列问题
数列的新定义问题成为最近几年高考的热点，主要是题目的条件或结论上给出新的方式或者用其他语言(如集合、向量)来描述，增加了题目理解的难度．
例1 设数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，均有Sn＝an＋k－k(k是常数且k∈N*)成立，则称数列{an}为“P(k)数列”．
(1) 若数列{an}为“P(1)数列”，求数列{an}的通项公式；
(2) 是否存在数列{an}既是“P(k)数列”，也是“P(k＋2)数列”？若存在，求出符合条件的数列{an}的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由；
点评：
例2 对于数列{an}，定义：bn(k)＝an＋an＋k，其中n，k∈N*. (1) 若bn(2)－bn(1)＝1，n∈N*，求bn(4)－bn(1)的值； (2) 若a1＝2，且对任意的n，k∈N*，都有bn＋1(k)＝2bn(k)． ① 求数列{an}的通项公式；
② 设k为给定的正整数，记集合A＝{bn(k)|n∈N*}，B＝{5bn(k＋2)|n∈N*}, 求证：A∩B＝?.
点评：
【思维变式题组训练】
1. 若数列{an}中不超过f(m)的项数恰为bm(m∈N*)，则称数列{bm}是数列{an}的生成数列，称相应的函数f(m)是数列{an}生成{bm}的控制函数．
(1) 已知an＝n2，且f(m)＝m2，写出b1，b2，b3； (2) 已知an＝2n，且f(m)＝m，求{bm}的前m项和Sm；
2. 若存在常数k(k∈N*，k≥2)，q，d，使得无穷数列{an}满足an＋1
?
＝?n
qa， ∈N，?kn
*
n
an＋d， ?N*，
k
则称数列{an}为“段比差数列”，其中常数k，q，d分别叫作段长、段比、段差．设数列{bn}为“段比差数列”．
(1) 若{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1,3，q,3. ① 当q＝0时，求b2 016；
② 当q＝1时，设{bn}的前3n项和为S3n，若不等式S3n≤λ·3n
数λ的取值范围；
(2) 设{bn}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{bn}，并说明理由．
－1
对n∈N*恒成立，求实
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