[课时作业] [A组 基础巩固]
1．计算sin 15°sin 30°·sin 75°的值等于( ) A.34 B.38 C.18
D.14
解析：原式＝1cos 15°＝11
2sin 15°·4sin 30°＝8. 答案：C
2．若sin ??π?6－α???＝13，则cos ??2?
?3π＋2α??的值为( A．－1
3 B．－7
9 C.13
D.79
解析：cos ??2?3π＋2α???π?
?＝－cos ??3－2α??
＝－cos ???2??π?6－α??????＝－???1－2sin2??π?6－α???
???
＝2sin2??π
?
7?6－α??－1＝－9.
答案：B 3．tan 67°30′－1
tan 67°30′
的值为( )
A．1 B.2 C．2
D．4
解析：tan 67°30′－1tan 67°30′
＝tan267°30′－1
tan 67°30′
) ＝答案：C
－2＝tan 135°＝2.
?π?4．函数y＝2cos2?x－4?－1是( )
??A．最小正周期为π的奇函数 π
B．最小正周期为2的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 π
D．最小正周期为2的偶函数 ?π?解析：y＝2cos2?x－4?－1
??
π???π?
＝cos ?2x－2?＝cos ?2－2x?＝sin 2x，
????2π
所以T＝2＝π，
又f(－x)＝sin(－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，函数为奇函数． 答案：A
?π?1
5．设sin?4＋θ?＝3，则sin 2θ＝( )
??7
A．－9 1C.9
1B．－9 7D.9
2111?π?
解析：sin?4＋θ?＝2(sin θ＋cos θ)＝3，将上式两边平方，得2(1＋sin 2θ)＝9，
??7
∴sin 2θ＝－9. 答案：A
6．若2±3是方程x2－5xsin θ＋1＝0的两根，则cos 2θ＝________.
4
解析：由题意，2＋3＋(2－3)＝5sin θ，即sin θ＝5，所以cos 2θ＝1－2sin2θ7＝－25. 7
答案：－25
?π?
7．已知tan x＝2，则tan 2?x－4?＝________.
??解析：∵tan x＝2， ∴tan 2x＝
4
＝－. 231－tan x2tan x
π??π??
tan 2?x－4?＝tan?2x－2?
????π??
sin?2x－2???＝
π? ?
cos?2x－2???
－cos 2x13＝sin 2x＝－tan 2x＝4. 3答案：4
θθ1
8．已知sin 2＋cos 2＝2，则cos 2θ＝________.
θθ11
解析：由sin 2＋cos 2＝2，两边平方整理，得1＋sin θ＝4， 3
即sin θ＝－4，
1?3?2
cos 2θ＝1－2sinθ＝1－2×?－4?＝－8.
??
2
1
答案：－8
1
9．已知sin α＋cos α＝3，0<α<π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值． 1
解析：∵sin α＋cos α＝3，
1
∴sinα＋cosα＋2sin αcos α＝9，
2
2
84
∴sin 2α＝－9且sin αcos α＝－9<0. ∵0<α<π，sin α>0，∴cos α<0.∴sin α－cos α>0. ∴sin α－cos α＝
?sin α－cos α?2＝
17
1－sin 2α＝3.
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝(sin α＋cos α)(cos α－sin α) 11717＝3×(－3)＝－9. sin 2α817
tan 2α＝cos 2α＝17.
?π?10．已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)·cos(2x＋θ)为奇函数，且f?4?＝0，
??其中a∈R，θ∈(0，π)． (1)求a，θ的值；
2?α??π?
(2)若f?4?＝－5，α∈?2，π?，
????π??
求sin ?α＋3?的值．
??
解析：(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，π所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，又θ∈(0，π)，则θ＝2， 所以f(x)＝－sin 2x·(a＋2cos2x)， ?π?由f?4?＝0得－(a＋1)＝0，得a＝－1.
??
1124?α??π?
(2)由(1)得，f(x)＝－2sin 4x，因为f?4?＝－2sin α＝－5，即sin α＝5，又α∈?2，π?，
????π?3ππ4－33?
从而cos α＝－5，所以有sin ?α＋3?＝sin αcos 3＋cos αsin 3＝10.
??
[B组 能力提升]
15πθ
1．若|cos θ|＝5，2<θ<3π，则sin 2的值是( ) 10
A．－5 15
C．－5
5π1
解析：因为2<θ<3π，|cos θ|＝5， 1
所以cos θ<0，cos θ＝－5， 5πθ3π因为4<2<2， θ
所以sin 2<0. 1－cos θ3
因为sin2＝＝5，
2
2θ
10B.5 15D.5
θ15
所以sin 2＝－5. 答案：C
10
2．已知α∈R，sin α＋2cos α＝2，则tan 2α＝( ) 4A.3 3C．－4
3B.4 4D．－3 解析：先利用条件求出tan α，再利用倍角公式求tan 2α.把条件中的式子两边平53
方，得sin2α＋4sin αcos α＋4cos2 α＝2，即3cos2α＋4sin αcos α＝2， 3cos2α＋4sin αcos α33＋4tan α32所以＝，所以＝，即3tanα－8tan α－3＝0， 22222cosα＋sinα1＋tanα12tan α3解得tan α＝3或tan α＝－3，所以tan 2α＝＝－. 241－tanα答案：C
高中数学必修四第三章 3.1 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
