QEF?平面GEF
∴EF//平面PCD.
方法四：
?PA?平面ABC,且四边形ABCD是正方形，?AD,AB,AP两两垂直，以A为原点，AP，AB，AD所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系A?xyz，
则P?1,0,0?,D?0,0,1?,C?0,1,1?,
1??11??E?0,0,?,F?,,0?2??22? ?uuur?111?EF??,,??，
?222?r则设平面PDC法向量为n??x,y,z?，PD???1,0,1?,PC???1,1,1?
uuurrr???x?z?0?PD?n?0则?uuu, 即?, 取n??1,0,1?， rr??x?y?z?0??PC?n?0ruuur11n?EF???0，
22uuurr所以EF?n，又QEF?平面PDC， ?EF∥平面PDC.
?Ⅱ??PA?平面ABC,且四边形ABCD是正方形，?AD,AB,AP两两垂直，以A为原点，AP，
AB，AD所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系A?xyz，
则P?1,0,0?,D?0,0,1?,C?0,1,1?,E?0,0,?,F???1?2??11?,,0? ?22?ur设平面EFC法向量为n1??x1,y1,z1?，
?111??11?EF??,,??,FC???,,1?
?222??22??x1?y1?z1?0??EF?n1?0?则?, 即?1， 1?x1?y1?z1?0???FC?n1?0?22取n1??3,?1,2?,
uur则设平面PDC法向量为n2??x2,y2,z2?，PD???1,0,1?,PC???1,1,1?
???x2?z2?0?PD?n2?0则?, 即?, 取n2??1,0,1?，
?x?y?z?0??222?PC?n2?0cosn1,n2?n1?n2n1?n2?3?1???1??0?2?114?2?57.14
∴平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值为
（若第一问用方法四，则第二问部分步骤可省略）
57. 14
20. 解：?Ⅰ?由
c1?可得，a?2c，又因为b2?a2?c2，所以b2?3c2. a232()xy132所以椭圆C方程为2?2?1，又因为M(1,)在椭圆C上，所以2??1.
4c3c24c3c2222x2y2??1. 所以c?1，所以a?4,b?3，故椭圆方程为43222?x2y2??1， ?Ⅱ?方法一：设l的方程为x?my?1，联立?3?4?x?my?1?消去x得(3m?4)y?6my?9?0，设点A(x1,y1),B(x2,y2)， 有??0,y1?y2?22?6m?9,yy?, 12223m?43m?42y1?y2??y1?y2?2?4y1y2?9??6m???2?4??3m2?4 ?3m?4?12m2?1??3m2?4?112m2?1所以S??4?令t?1?m2,t?1， 22?3m?4?24t24，由 ?213t?13t?t1函数y?3t?，t?[1,??)
t1y??3?2?0,t??1,???
t1故函数y?3t?，在[1,??)上单调递增，
t124t24故3t??4，故S?2??61t3t?13t?t
有S?当且仅当t?1即m?0时等号成立， 四边形APBQ面积的最大值为6.
?x2y2?1??方法二：设l的方程为x?my?1，联立?4， 3?x?my?1?消去x得(3m?4)y?6my?9?0，设点A(x1,y1),B(x2,y2)， 有??0,y1?y2?222?6m?9,yy?, 12223m?43m?4121?m212(1?m2)有|AB|?1?m， ?3m2?43m2?4点P(?2,0)到直线l的距离为31?m2，
点Q(2,0)到直线l的距离为11?m2，
从而四边形APBQ的面积
112(1?m2)4241?m2S???? 22223m?43m?41?m令t?1?m2,t?1，
24t24， ?3t2?13t?1t1函数y?3t?，t?[1,??)
t1y??3?2?0,t??1,???
t1故函数y?3t?，在[1,??)上单调递增，
t124t24有3t??4，故S?2??6当且仅当t?1即m?0时等号成立，四边形APBQ面积的
1t3t?13t?t有S?最大值为6.
方法三：①当l的斜率不存在时，l:x?1 此时，四边形APBQ的面积为S?6.
②当l的斜率存在时，设l为：y?k(x?1)，(k?0)
?x2y2?1??则?4 3?y?k(x?1)? ?3?4k2x2?8k2x?4k2?12?0
??8k24k2?12,x1x2? ??0,x1?x2?， 223?4k3?4ky1?y2?k(x1?x2)?k??x1?x2??2222k(k?1)?4x1x2??12?，
?(3?4k2)2∴四边形APBQ的面积
1k2(k2?1)S??4?y1?y2?24? 2(3?4k2)2令 t?3?4k(t?3) 则 k2?22t?3 4111?1?S?6??3????2??1,(0??)
tt3?t?111?1?∴S?6??3????2??1,(0??)
tt3?t?2∴0?S?6
综上，四边形APBQ面积的最大值为6.
21.解：?Ⅰ?Qf?x?在???,???上是单调递增函数,
∴在x?R上，f??x??2x?4?∴设h?x???4?2x?ex x?R ∴h??x???2?2x?ex，
ax?0恒成立，即：a?4?2xe?? ex∴当x????,1?时h??x??0，∴h?x?在x????,1?上为增函数，
辽宁省大连市2018届高三第一次模拟考试数学(理)试卷(含答案)
