习题4.4
?Z8，?8?的全部子群。
Z解 两个非平凡子群是：{0，2，4，6}和{0，4}，两个平凡子群是：8和{0}。
1. 给出群
，5，7，11}，对G上的二元运算“模12乘法?12”2. 设G?{1：
i?12j?(i?j)(mod12)
?G，?12?构成群，请求出?G，?12?的所有子群。
解 略
??是群，H是其子群，任给a?H，令 3. 设?G，aHa?{a?h?a?1|h?H}
证明aHa是G的子群（称为H的共轭子群）
解 略
?1??是群，H和K是其子群，??的子群当且仅当4. 设?G，证明HK和KH是?G，HK?KH，其中
HK?{h?k|h?H?k?K}
解 略
KH?{k?h|k?K?h?H}
??是群，H是G的子集，证明H是G的子群当且仅当5. 设?G，H2?H，H?1?H，这里
H2?{h1?h2|h1，h2?H} H－1?{h－1|h?H}
2?12?1H,HH?H,H?HGH证（1）因为是的子集，根据的定义，显然有：
又因为H中任意元素h可以写成e?h，所以H?H，还因为H中任意元素h可
?1?12?1以写成(h)，所以H?H，因此文档来自于网络搜索 2?1 H?H，H?H 2?1 （2）?h1,h2?H，因为H?H，H?H，所以 ?1h?h?h1?h3?h4?H 12
由子群的判定定理知，H是G的子群。
?，x7)，其中x1，x2，x3和x4为数据位，6. 某一通讯编码的码字x?(x1，x2，x5，x6和x7为校验位（x1，x2，?，x7都是0或1），并且满足
x5?x1?2x2?2x3
x6?x1?2x2?2x4
x7?x1?2x3?2x4
这里?2是模2加法。设H是所有这样的码字构成的集合。在H上定义二元运算如下：
?x，y?H，x?y?(x1?2y1，x2?2y2，?，x7?2y7)
??构成群，且是?G，??的子群，其中G是长度为7的位串构成的集合。 证明?H，解 略
st7. 设G??a?是循环群，H??a?和K??a?是它的两个子群。证明
H?K??au?，这里u?lcm(s，t)是s和t的最小公倍数。
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解 ?a?H?K，则根据定理，l应是s的倍数，也应是t的倍数，从而l应是s和t的
lu最小公倍数u?lcm(s，t)的倍数，所以a??a?。
l?al??au?，则l应是s和t的最小公倍数u?lcm(s，t)的倍数，从而l是s的倍数，
ll也是t的倍数，所以a?H，a?K，即a?H?K。
l
8. 设5阶置换为
????23154????
?1?1?1计算??，??，?，???，???。
解 略
?12345?????13452????
?12345?，2，3，4}，写出S上的所有4元置换。 9. 设S?{1解 略
??的运算表，求出单位元，每个元的逆元，每个元的次数10. 列出4元对称群?S4，以及它的所有子群
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《应用离散数学》方景龙版-. 子群置换群
