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三校生数学常用公式及常用结论
1. 元素与集合的关系
x?A?x?CUA（即x属于集合A则x不属于A的余集）
x?CUA?x?A.（同样x属于A的余集，则x不属于集合A）
2.德摩根公式
.CU(AB)?CUACUB;CU(AB)?CUACUB（这个根据1就能推出来，做题时认真些可以不用特意记）
3.包含关系
AB?A?AB?B?A?B?CUB?CUA（主要看集合A与集合B谁比较大） ?ACUB??（空集） ?CUAB?R（全集）
4．集合{a1,a2,,an}的子集个数共有2n 个（如有n=3个元素，则共有2的三次方8个
子集）；真子集有2n–1个（不包含自己本身的子集叫做真子集）；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n–2个.
5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式f(x)?ax2?bx?c(a?0); (2)顶点式f(x)?a(x?h)2?k(a?0); (3)零点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0).
6.闭区间上的二次函数的最值
二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)在闭区间?p,q?(p、q为任意两个不相等的数，例如
bx?[-1,10])上的最值只能在x??处及区间的两端点处取得，具体如下：
2abb(1)当a>0时，若x????p,q?，则f(x)min?f(?),f(x)max?max?f(p),f(q)?；（顶点
2a2a2bb?4ac)） 坐标为(?,2a4abx????p,q?，f(x)max?max?f(p),f(q)?（意思是最大值为两个中的一个），
2af(x)min?min?f(p),f(q)?（同样最小值为两个中一个）.
(2)当a<0时，若x??bb??p,q?，则f(x)min?min?f(p),f(q)?，若x????p,q?，则2a2a?max?f(p),f(q)?，f(x)min?min?f(p),f(q)?.
f(x)max
7.一元二次方程的实根分布
依据：若f(m)f(n)?0，则方程f(x)?0在区间(m,n)至少有一个实根 . 设f(x)?x2?px?q，则
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?p2?4q?0?（1）方程f(x)?0在区间(m,??)有根的充要条件为f(m)?0或?p；
???m?2?f(m)?0?f(n)?0??（2）方程f(x)?0在区间(m,n)有根的充要条件为f(m)f(n)?0或?p2?4q?0或
??m??p?n??2?f(m)?0?f(n)?0或?； ??af(n)?0?af(m)?0?p2?4q?0?（3）方程f(x)?0在区间(??,n)有根的充要条件为f(m)?0或?p .
???m?2
8.真值表 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假
9.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有（n?1）个 小于 不小于 至多有n个 至少有（n?1）个 对所有x， 存在某x， 成立 不成立 p或q ?p且?q 对任何x， 存在某x， 不成立 成立 p且q ?p或?q
10.四种命题的相互关系
原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ
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11.充要条件
（1）充分条件：若p?q，则p是q充分条件.
（2）必要条件：若q?p，则p是q必要条件.
（3）充要条件：若p?q，且q?p，则p是q充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
12.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域,和函数f(x)?g(x)也是减函数; 如果函数y?f(u)和u?g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y?f[g(x)]是增函数.
13．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
14.若函数y?f(x)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a)；若函数y?f(x?a)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a).
15．多项式函数P(x)?anxn?an?1xn?1??a0的奇偶性
多项式函数P(x)是奇函数?P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数?P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
16.两个函数图象的对称性
(1)函数y?f(x)和y?f?1(x)的图象关于直线y=x对称.
17.若将函数y?f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y?f(x?a)?b的图象；若将曲线f(x,y)?0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x?a,y?b)?0的图象.
18．互为反函数的两个函数的关系 f(a)?b?f?1(b)?a.
19.几个常见的函数方程
(1)正比例函数f(x)?cx,f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c.
(2)指数函数f(x)?ax,f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0.
(3)对数函数f(x)?logax,f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1).
(4)幂函数f(x)?x?,f(xy)?f(x)f(y),f'(1)??.
20.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=a；
21.分数指数幂
m1(1)an?（a?0,m,n?N?，且n?1）.
nma
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(2)a?mn?1mn（a?0,m,n?N?，且n?1）.
a22．根式的性质 （1）(na)n?a.
（2）当n为奇数时，nan?a；
?a,a?0当n为偶数时，nan?|a|??.
??a,a?023．有理指数幂的运算性质
(1) ar?as?ar?s(a?0,r,s?Q). (2) (ar)s?ars(a?0,r,s?Q). (3)(ab)r?arbr(a?0,b?0,r?Q).
p
注： 若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
24.指数式与对数式的互化式
b logaN?b?a?N(a?0,a?1,N?0).
25.对数的换底公式
logmNlogaN? (a?0,且a?1,m?0,且m?1, N?0).
logman推论 logambn?logab(a?0,且a?1,m,n?0,且m?1,n?1, N?0).
m
26．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)loga(MN)?logaM?logaN;
M(2) loga?logaM?logaN;
N(3)logaMn?nlogaM(n?R).
27.设函数f(x)?logm(ax2?bx?c)(a?0),记??b2?4ac.若f(x)的定义域为R,则
a?0，且??0;若f(x)的值域为R,则a?0，且??0.对于a?0的情形,需要单独检验.
28. 对数换底不等式及其推广
1 若a?0,b?0,x?0,x?,则函数y?logax(bx)
a11 (1)当a?b时,在(0,)和(,??)上y?logax(bx)为增函数.
aa11)和(,??)上y?logax(bx)为减函数. ， (2)当a?b时,在(0,aa推论:设n?m?1，p?0，a?0，且a?1，则 （1）logm?p(n?p)?logmn.
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（2）logamlogan?loga2m?n. 2
29. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有y?N(1?p)x.
30.数列的同项公式与前n项的和的关系
n?1?s1,( 数列{an}的前n项的和为sn?a1?a2??an). an??s?s,n?2?nn?1
31.等差数列的通项公式
an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)；
其前n项和公式为 n(a1?an)n(n?1)sn??na1?d
22d1?n2?(a1?d)n. 22
32.等比数列的通项公式
aan?a1qn?1?1?qn(n?N*)；
q其前n项的和公式为
?a1(1?qn),q?1?sn??1?q
?na,q?1?1?a1?anq,q?1?或sn??1?q.
?na,q?1?1
33.等比差数列?an?:an?1?qan?d,a1?b(q?0)的通项公式为
?b?(n?1)d,q?1?an??bqn?(d?b)qn?1?d；
,q?1?q?1?其前n项和公式为
?nb?n(n?1)d,(q?1)?sn??. d1?qnd(b?)?n,(q?1)?1?qq?11?q?
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