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2006年第五届中国女子数学奥林匹克试题
第一天
2006年8月8日
中国在国际数学奥林匹克竞赛中，包括微积分，但题目需要思考，家未必长于这种考试，
下午15：30——19：30 连续多年取得很好的成绩，
乌鲁木齐
这项竞赛是高中程度，
不
我相信我是考不过这些小孩子的，因此有人觉得，好的数学
竞赛胜利者也未必是将来的数学家，这个意见似是而非。数学竞赛大
——陈省身
约是百年前在匈牙利开始的；匈牙利产生了同它人口不成比例的许多大数学家。
一、设a＞0，函数f : （0，＋∞）→R满足f（a）＝1．如果对任意正实数x，y有
fxfy
证明：
f
ax
f
ay
2fxy
，①求证：f（x）为常数．
在①中令x＝y＝1，得，f2（1）＋f2（a）＝2 f（1）（f（1）－1）2＝0，在①中令y＝1，得f（x）f（1）＋f（f（x）＝f（
∴
f（1）＝1。
ax
）f（a）＝2 f（x），
②
ax
），x＞0。
在①中取y＝
a
，得x
aa）＋f（）f（x）＝2 f（a），f（x）f（xxa
③f（x）f（）＝1。
x
由②，③得：f2（x）＝1，x＞0。在①中取x＝y＝
t，得at
）＝2 f（t），
f
2（
t）＋
f2（
∴f（t）＞0。
ABCD对角线交于O点．△OAD，△OBC的外接圆交于
O，M两点，直线
故f（x）＝1，x＞0。二、设凸四边形
证法1：
如图，连接BT，CS，MA，MB，MC，MD。∵
∠BTO＝∠BAO，∠BCO＝∠BMO，OM分别交△OAB，△OCD的外接圆于
T，S两点．求证：M是线段TS的中点．
.
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∴△BTM ∽△BAC，得
TMACMSBD
BM
；BCCM
。BC
①
T
A
B
同理，△CMS ∽△CBD，得
②
O
①÷②得又∵∴
TMMSBMCMAC
。③BD
C
M
∠MBD＝∠MCA，∠MDB＝∠MAC，△MBD ∽△MCA，得
D
BMCM
证法2：
BDAC
。④
TM ＝MS。
T
O1
B
E
A
将④代入③，即得
S
设△OAB，△OBC，△OCD，△ODA的外心分别为O1，O2，O3，O4，自作O1，O3作TS的垂线，垂足分别为E，F。连接O2，O4交TS于G。因OM是⊙O2和⊙O4的公共弦，故OM，即G是线段OM的中点。
同样，O1O4垂直平分OA，O2O3垂直平分OC，得O1O4∥O2O3；同理，O1O2∥O3O4。
因此O1O2O3O4构成平行四边形，其对角线互相平分。由此易知EG＝FG。
又由垂径定理，E是TO中点，F是OS中点。因此TM＝TO＋OM＝2EO＋2OG＝2EG，①MS＝OS－OM＝2OF－2OG＝2GF。由①，②即知三、求证：对
证：
三个整数的立方和被
9除的余数不能为
4或5，这是因为整数可写为
3k或3k±1（k∈
Z），而（3k）3＝9×3k3，
332
（3k±1）＝9（3k±3k＋k）±1。
S
C
O3
O2O4垂直平分
G
O2
M
O
O4
D
F
②
n，使得n，n＋2，n＋28中恰有i个可表
TM ＝MS。
i＝1，2，3，均有无穷多个正整数
示为三个正整数的立方和．
对i＝1，令n＝3（3m－1）－2（m∈Z），则n，n+28被9除的余数分别为均不能表示为三个整数的立方和，而
333n+2＝（3m－1）＋（3m－1）＋（3m－1）。
3
＋
4，5，故
对i＝2，n＝（的立方和，而
3m－1）3＋222（m∈Z）被9除的余数为
＋
5，故不能表示为三个整数
n+2＝（3m－1）3＋23＋63，
333
n+28＝（3m－1）＋5＋5。
＋
3
对i＝3，n＝216m（m∈Z）满足条件：
n＝（3m）3＋（4m）3＋（5m）3，
333
n+2＝（6m）＋1＋1，
.
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n+28＝（6m）3＋13＋33。注：所命原题要求证明结论对为降低试卷难度，去掉了以下是i＝0的证明。
对n＝9m＋3，m∈Z，n+2，n+28被9除的余数分别为
3
＋
i＝0，1，2，3均成立。
i＝0的要求。
5，4，不能表示为三个整数的立
3 N3个。（*）
N
方和，若n＝a3＋b3＋c3，a，b，c∈Z，由前知a，b，c均为3 k＋1型（k∈Z）的整数。小于（3 N）（N∈Z）的9m＋3型（m∈Z）的正整数共小于3 N的3k＋1型（k∈Z）的正整数有
3
N种，故（*）中正整数至少有
N个，三个这样的数的立方和的组合不超过
3N3－N3＝2N3个不能表示为三个正整数的立方和。
可取任意正整数，故四、8个人参加一次聚会
（1）如果其中任何
两两认识? 解法1：
i＝0情形得证。.
4个人两两认识；
4个人
5个人中都有3个人两两认识. 求证：可以从中找出
（2）试问, 如果其中任何6个人中都有3个人两两认识, 那么是否一定可以找出
（1）用8个点表示8个人，相识二人之间连一线段。按图论语言，这些点称为图的顶点，线段称为图的边。按照题意，该图的每个
5点子图中均有一个三角形，而每个三角形属于
C
283
=
C
25
=10
个不同的5点子图。我们知道，这些三角形共有3C8＝3×56＝168
条边，其中每条边至多被重复计算了
10次。这样一来，即知：每个顶点至少连出A，由它至少连出
5条边。
5个点中又存在一
5
2168810
4条边。所以存在一个顶点
假设由顶点A有边连向B，C，D，E，F这5个顶点，而由题意在这个三角形，不妨设为△所以它们所代表的（2）如果其中任何认识, 例子为: 在正八边形中连出
8条最短的对角线. 每个顶点代表一个人4个人两两认识。
6个人中都有3个人两两彼此认识
BCD。于是A，B，C，D这4个点中的任何二点之间均有连线，
, 则不一定可以找出
4人两两彼此
, 有线段相连的顶点表示相
, 但是却找不
应二人相互认识. 不难验证: 其中任何6个人中都有3个人两两彼此认识出4人两两彼此认识. 解法2：
（1）分情形讨论.
情形（i）如果存在3个人两两互不认识如他们之中有二人互不认识情形（ii）在剩下的情形中个人中的任何二人都彼此认识
. 那么其余5个人必然两两都认识
3个人一起构成的.
.
. 因若不然, 假
3
, 则在他们与原来的5人组中就找不出
个人两两认识, 导致矛盾. 所以此时题中结论成立
, 任何3人中, 都有某两个人相互认识
（a）如果8个人中有1个人A至多认识3个人, 那么他至少不认识人互相认识, 导致矛盾. 所以此时题中结论成立
.
4个人. 显然这4
. 因若不然, 这两个人与A一起构成的3人组中就没有二
, 他
（b）如果存在1个人A至少认识5个人. 那么这5个人中有3个人两两彼此认识
.
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们又都认识A, 所以他们与A一起即为所求之情形（iii）只需再考虑每个人都恰好有情形.
4人.
4个熟人, 并且任何3人中都有两人相互认识的
. 否则, 其中就有B,C
任取其中一人A. 假如A的4个熟人两两认识, 那么他们即为所求二人互不认识. 易知, 此时A有3个不认识的人人都彼此认识,那么此人与
F,G.,H一起构成所求的
A构成3人组, 所以F,G.,H中的任何两人都相互认识
F,G.,H, 而这3个人中的任何两人都与
. 如果B,C之一与F,G.,H中的每个4人组. 否则, B,C二人分别不认识
, 否则该人与B,C所成
F,G.,H中的一个人. 易知, B和C不可能不认识他们中的同一个人的3人组中任何二人均互不认识
, 导致矛盾. 这就表明, B和C分别不认识F,G.,H中的
. 然而他们中的任何三个人中都一定有在圆3个人两两认识, 导致矛盾, 所以这种情况
.
4人两两彼
两个不同的人, 不妨设B不认识F, 而C不认识G. 现在把B,F,A,G,C依次排在一个圆周上, 于是任何两个相邻放置的人都互不认识周上相邻的两个人不可能存在.
综合上述, 在一切可能的情况下（2）如果其中任何此认识, 例子为: 在正八边形中连出
8条最短的对角线. 每个顶点代表一个人
, 有线段相连的顶点表示相
, 但是却找不
应二人相互认识. 不难验证: 其中任何6个人中都有3个人两两彼此认识出4人两两彼此认识.
第二天
2006年8月9日
五、平面上整点集
9：00——13：00
S中
, 都能找出4个人两两都彼此认识
6个人中都有3个人两两彼此认识
, 则不一定可以找出
, 从而在他们之中找不到
S＝｛（a，b）│1≤a，b≤5，a，b∈Z｝，T为平面上一整点集，对
任一点P，总存在T中不同于P的一点Q，使得线段PQ上除点P，Q外无其他的整点．问T的元素个数最少要多少？解：
答案：最少个数为若不然，设
2。
先证T不可能只包含一个点。
T＝｛Q（x0，y0）｝。在S中取点P（x1，y1）满足（x1，y1）≠（x0，y0）
PQ的中点为一整点。矛盾。
且x1与x0同奇偶，y1与y0同奇偶。则线段T含两个点的情形如下图所示：
六、设集合M＝｛1，2，…，19｝，A＝｛a1，a2，…，ak｝
M．求最小的k，使得对任意
b∈M，存在ai，aj∈A，满足ai＝b，或ai±aj＝b（ai，aj可以相同）．
.
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解：由假设，当
在
A中，有k(k
1)种可能的组合，
a2
从而k(k1)
19，即k
10。
4。
k4时，我们有k(k1)
10时，有
a3
9。
20。不妨假设a1
a3a4。则a4
当a4这时a28或7。如果a28，则20,1091,981，这不可能。如果a2
7，则a16或a1
5。由于20,10
9
1,7
6
或20,97
2,7
52，这不可能。当a411时，有a3
8。
这时a27以及a16，这不可能。当a412时，有a37。这时a26,a1
5，这不可能。
当a413时，有a36,a25,a1
4，这不可能。
当a414时，有a35,a24，这不可能。当a415时，有a34,a23,a12，这不可能。当a416时，有a3
3,a2
2,a1
1，这不可能。
当a417时，均不可能。
所以，
k5。
如果取A{1,3,5,9,16}，则A满足条件。故最小的
k5。
七、已知xi＞0，i
1,2,
,n,k≥1．求证：
n
1n
n
x
k1n
i
1i1
1xxi≤
i
i1
i1
1xi
i1
xk．i
证法1：原不等式等价于
n
xk1n
i
1n
1n
i1
1xx
kxi
0，
i
i1i
i1
1xi
i1
x
k1i
1xj上式左
ij
1xi
x
kj
ij
1xi
.
1
第五届中国女子数学奥林匹克试题
