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三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知复数x2＋x＋(x2－3x＋2)i（x∈R）是复数6－20i的共轭复数，求实数x的值． 【答案】?3 【解析】 【分析】
由共轭复数的定义可得可得??x2?x?62?3x?2?20，解之可得答案．
?x【详解】因为复数6－20i的共轭复数为6＋20i， 由题意得：x2＋x＋(x2－3x＋2)i＝6＋20i，
?x2根据复数相等的充要条件，得：?＋x＝6，①?x2－3x＋2＝20.②
方程①的解为：x＝－3或x＝2． 方程②的解为：x＝－3或x＝6． 所以实数x的值为－3．
【点睛】本题考查共轭复数的概念，属基础题．明确相关概念是解题关键．
18.做一个容积为256dm3方底无盖水箱，求它的高为何值时最省料．
【答案】4dm 【解析】 【分析】
设此水箱的高为x，底面棱长为a，则ax＝256，其表面积4ax+a2
?1024a?a2?512a?5122
a?a，利用均值不等式即可得出． 【详解】解：设此水箱的高为x，底面棱长为a，则a2x＝256， 其表面积S＝4ax+a2?1024a?a2?512a?512a?a2
≥3×26＝192． 当且仅当a＝8即h?25682?4时，S取得最小值．
答：它的高为4 dm时最省料．的2
【点睛】本题考查了正方体的体积与表面积、均值不等式，属于基础题．
S＝
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19. 5个相同的红球和6个相同的白球放入袋中，现从袋中取出4个球，若取出的红球个数多于白球个数，则有多少种不同的取法？ 【答案】65(种). 【解析】 【分析】
由取出4个球且取出的红球个数多于白球个数可知，取出的4个球中至少有3个红球，分为全为红球和4个球里有3个红球两种情况，分别得到取法的数量，然后相加得到答案. 【详解】解:依题意知，取出的4个球中至少有3个红球，可分两类:
①取出的全是红球有的取法有：C54
②取出的4球中有3个红球的取法有C5C6；
431由分类计数原理，共有C5?C5C6?5?10?6?65(种).
31【点睛】本题考查利用组合解决问题，分类计数原理，属于简单题.
20.从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数． 试问：（1）能组成多少个不同的五位偶数？ （2）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？
（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻五位数有几个？（所有结果均用数值表示） 【答案】（1）576；（2）576；（3）144 【解析】 【分析】
（1）根据先取后排的原则，从1到7的七个数字中取两个偶数和三个奇数，然后进行排列； （2）利用捆绑法把两个偶数捆绑在一起，再和另外三个奇数进行全排列；
（3）利用插空法，先排两个偶数，再从两个偶数形成的3个间隔中，插入三个奇数，问题得以解决.
23【详解】（1）偶数在末尾，五位偶数共有C3C4A4A2＝576个． （2）五位数中，偶数排在一起的有C3C4A4A2＝576个．
22342（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有C3C4A2A3＝144．
【点睛】本题主要考查了数字的组合问题，相邻问题用捆绑，不相邻用插空，属于中档题．
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21.设函数g(x)＝ex－1－ax，若当x≥0时，x(ex－1－ax)≥0，求a的取值范围．
1] 【答案】(??，【解析】 【分析】
g′（x）＝ex﹣a，根据a的取值范围利用导数性质能求出a的取值范围．
【详解】由已知可得g′(x)＝ex－a．
若a≤1，则当x∈（0，＋∞）时，g′(x)＞0，g(x)为增函数， 而g(0)＝0，从而当x≥0时，g(x)≥0， 即x(ex－1－ax)≥0．
若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g′(x)＜0，g(x)为减函数， 而g(0)＝0，从而当x∈（0，lna）时，g(x)＜0， 即x(ex－1－ax)＜0．
综上，得a的取值范围为(－∞，1]．
点睛】本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
【22.试比较3－【答案】见解析 【解析】 【分析】 于是确定3－
n＋35n与（n为正整数）的大小，并予以证明． 2n2n＋1?n＋3?2－2n－1n＋35nn＋35n利用作差法可得3－n－＝，确定3－与的大小关系
22n＋12n2n＋12n?2n＋1?n??等价于比较2n与2n＋1的大小，利用数学归纳法证明即可.
?n＋3?2－2n－1n＋35n
【详解】证明：3－n－＝， n22n＋12?2n＋1?n??n＋35n
与的大小关系等价于比较2n与2n＋1的大小． n22n＋1
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由2＜2×1＋1，22＜2×2＋1，23＞2×3＋1，24＞2×4＋1，25＞2×5＋1， 可猜想当n≥3时，2n＞2n＋1， 证明如下：
ⅰ当n＝3时，由上可知显然成立． ⅱ假设当n＝k时，2k＞2k＋1成立． 那么，当n＝k＋1时，
2k?1＝2×2k＞2(2k＋1)＝4k＋2＝2(k＋1)＋1＋(2k－1)＞2(k＋1)＋1，
所以当n＝k＋1时猜想也成立，
综合ⅰ和ⅱ，对一切n≥3的正整数，都有2k＞2n＋1． 所以当n＝1，2时，3－当n≥3时，3－
n＋35n
＜； 2n2n＋1
n＋35n＞（n为正整数）． 2n2n＋1
【点睛】本题考查大小的比较，考查作差法、考查数学归纳法，考查转化思想，属于中档题.
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吉林省2020学年高二数学下学期期中试题(含解析)
