因此熵增加原理要求
?S?CplnTT12?0, （5） Ti2或
TT12?1, （6） Ti2对于给定的Ti和T2，最低的T1为
Ti2T1?,
T2代入（3）式即有
Wmin?Ti2??Cp??T2?2Ti? （7）
?T2?式（7）相应于所经历的整个过程是可逆过程。
1.23 简单系统有两个独立参量。 如果以T,S为独立参量，可以以纵坐标表示温度T，横坐标表示熵S，构成T?S图。图中的一点与系统的一个平衡态相对应，一条曲线与一个可逆过程相对应。试在图中画出可逆卡诺循环过程的曲线，并利用T?S图求可逆卡诺循环的效率。
解： 可逆卡诺循环包含两个可逆等温过程和两个可逆绝热过程。 在T?S
图上，等温线是平行于T轴的直线。 可逆绝热过程是等熵过程，因此在T?S图上绝热线是平行于S轴的直线。 图1-5在T?S图上画出了可逆卡诺循环的四条直线。
（一）等温膨胀过程
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工作物质经等温膨胀过程（温度为T1）由状态Ⅰ到达状态Ⅱ。 由于工作物质在过程中吸收热量，熵由S1升为S2。吸收的热量为
Q1?T1?S2?S1?, （1）
Q1等于直线ⅠⅡ下方的面积。
（二）绝热膨胀过程
工作物质由状态Ⅱ经绝热膨胀过程到达状态Ⅲ。过程中工作物质内能减少并对外做功，其温度由T1下降为T2，熵保持为S2不变。
（三）等温压缩过程
工作物质由状态Ⅲ经等温压缩过程（温度为T2）到达状态Ⅳ。工作物质在过程中放出热量，熵由S2变为S1，放出的热量为
Q2?T2?S2?S1?, （2）
Q2等于直线ⅢⅣ下方的面积。
（四）绝热压缩过程
工作物质由状态Ⅳ经绝热压缩过程回到状态Ⅰ。温度由T2升为T1，熵保持为S1不变。
在循环过程中工作物质所做的功为
W?Q1?Q2, （3）
W
等于矩形ⅠⅡⅢⅣ所包围的面积。 可逆卡诺热机的效率为
T2?S2?S1?Q2TW???1??1??1?2. （4） Q1Q1T1?S2?S1?T1 上面的讨论显示，应用T?S图计算（可逆）卡诺循环的效率是非常方便的。实际上T?S图的应用不限于卡诺循环。根据式（1.14.4）
dQ?TdS, （5）
系统在可逆过程中吸收的热量由积分
Q??TdS （6）
给出。如果工作物质经历了如图中ABCDA的（可逆）循环过程，则在过程ABC
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中工作物质吸收的热量等于面积ABCEF，在过程CDA中工作物质放出的热量等于面积ADCEF，工作物质所做的功等于闭合曲线ABCDA所包的面积。 由此可见（可逆）循环过程的热功转换效率可以直接从T?S图中的面积读出。 在热工计算中T?S图被广泛使用。
补充题1 1mol理想气体，在27?C的恒温下体积发生膨胀，其压强由20pn准静态地降到1pn，求气体所作的功和所吸取的热量。
解：将气体的膨胀过程近似看作准静态过程。根据式（1.4.2），在准静态等温过程中气体体积由VA膨胀到VB，外界对气体所做的功为
W???pdVVAVBVB??RT?VAdVV??RTlnVBVA??RTlnpA. pB气体所做的功是上式的负值，将题给数据代入，得
?W?RTlnpA?8.31?300?ln20?7.47?103J. pB在等温过程中理想气体的内能不变，即
?U?0.
根据热力学第一定律（式（1.5.3）），气体在过程中吸收的热量Q为
Q??W?7.47?103J.
补充题2 在25?C下，压强在0至1000pn之间，测得水的体积为
V?(18.066?0.715?10?3p?0.046?10?6p2)cm3?mol?1
如果保持温度不变，将1mol的水从1pn加压至1000pn，求外界所作的功。
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解：将题中给出的体积与压强关系记为
V?a?bp?cp2, （1）
由此易得
dV?(b?2cp)dp. （2）
保持温度不变，将1mol的水由1pn加压至1000pn，外界所做的功为
W???VBVApdV???pBpA12p(b?2cp)dp??(bp2?cp3)2311000
?33.1J?mol?1.在上述计算中我们已将过程近拟看作准静态过程。
补充题3 承前1.6题，使弹性体在准静态等温过程中长度由L0压缩为试计算外界所作的功。
解：在准静态过程中弹性体长度有dL的改变时，外界所做的功是
dW?JdL.
L0，2 （1）
将物态方程代入上式，有
?LL2?0dW?bT??2?dL. （2）
?L0L?在等温过程中L0是常量，所以在准静态等温过程中将弹性体长度由L0压缩为
L0时，外界所做的功为 2W??JdL?bT???L2??bT???2L??0?5?bTL0.8L02L0L02L0L02L0?LL2?0?dL?2??L0L?L02L0?L2???0??L???? （3）
值得注意，不论将弹性体拉长还是压缩，外界作用力都与位移同向，外界所做的功都是正值。
补充题4 在0?C和1pn下，空气的密度为1.29kg?m?3,空气的定压比热容
Cp?996J?kg-1?K?1,??1.41。今有27m3的空气，试计算：
（i）若维持体积不变，将空气由0?C加热至20?C所需的热量。
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（ii）若维持压强不变，将空气由0?C加热至20?C所需的热量。 （iii）若容器有裂缝，外界压强为1pn，使空气由0?C缓慢地加热至20?C所需的热量。
解：（a）由题给空气密度可以算27m3得空气的质量m1为
m1?1.29?27?34.83kg.
定容比热容可由所给定压比热容算出
0.996?103cV???0.706?103J?kg?1?K?1.
?1.41cp维持体积不变，将空气由0?C加热至20?C所需热量QV为
QV?m1cV(T2?T1)?34.83?0.706?103?20 ?4.920?105J.（b）维持压强不变，将空气由0?C加热至20?C所需热量Qp为
Qp?m1cp(T2?T1)?34.83?0.996?103?20 ?6.938?105J.（c）若容器有裂缝，在加热过程中气体将从裂缝漏出，使容器内空气质量发生变化。根据理想气体的物态方程
pV?mRT, m?m?为空气的平均摩尔质量，在压强和体积不变的情形下，容器内气体的质量
与温度成反比。 以m1,T1表示气体在初态的质量和温度，m表示温度为T时气体的质量，有
m1T1?mT,
所以在过程（c）中所需的热量Q为
Q?cp?m(T)dT?m1T1cp?T1T2T2T1TdT?m1T1cpln2. TT1将所给数据代入，得
Q?34.83?273?0.996?103ln?6.678?105J.293273
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热力学统计物理_第四版_汪志诚_答案
