2:(1) 由乘法公式:
P(X=2,Y≤2) = P(X=2) P(Y≤2 | X=2)= 0.4× (e?2?2e?2?2e?2)= 2e?2
(2)由全概率公式:P(Y≤2) = P(X=2) P(Y≤2 | X=2) + P(X=3) P(Y≤2 | X=3)
= 0.4×5e + 0.6×(3)由贝叶斯公式:P(X=2|Y≤2)=
?217?3e= 0.27067 + 0.25391 = 0.52458 2P(X?2,Y?2)0.27067??0.516
P(Y?2)0.52458§2.3 1: 设X表示在同一时刻被使用的台数,则 X ~B(5, 0.6),
223332445(1) P( X = 2 ) = C50.60.4 (2) P(X ≥3 ) = C50.60.4?C50.60.4?0.6 4455 (3) P(X ≤3 ) = 1 - C50.60.4?0.6 (4)P(X ≥1 ) = 1 - 0.4
2: 至少必须进行11次独立射击.
§2.4 1:(1)P(X≤0 )=0.5; P ?0?X?1? = 0.5;P(X≥1) = 0.5,
(2) X的分布律为: X -1 1 P 0.5 0.5 2: (1) A = 1, (2) P?1?X?2? =1/6
?0?2§2.5 1:(1)k?2,(2)F(x)??x?1?(3)P(- 0.5 x?00?x?1; x?100.5?0.50?0.5?0.5f(x)dx??0dx??2xdx?1; 4 或= F(0,5) – F(-0.5) = 11?0?。 44?1/x1?x?e 2: (1)f(x)?? (2)P(X?2)?1?ln2 其他?0§2.6 1: 3/5 2: (1)e?2(2)e?2?e?4 §2.7 1:(1) 0.5328, 0.9996, 0.6977, 0.5;(2) c = 3, 2:σ≤31.25。 §2.8 1: Y - 1 1 3 p 0.3 0.4 0.3 ?1?1?y/2(1?y)0?y?1?e?2: fY(y)??y, 3: fY(y)??2??0?0其他? y?0y?0; 第3章 多维随机变量 - 6 - §3.1 二维离散型随机变量 1. 设盒子中有2个红球,2个白球,1个黑球,从中随机地取3个,用X表示取到的红球 个数,用Y表示取到的白球个数,写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。 2. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为: X Y 0 1 2 试根椐下列条件分别求a和b的值; 0 0.1 0.2 a (1)P(X?1)?0.6; 1 0.1 b 0.2 (2)P(X?1|Y?2)?0.5; (3)设F(x)是Y的分布函数,F(1.5)?0.5。 §3.2 二维连续型随机变量 1. (X、Y)的联合密度函数为:f(x,y)???k(x?y)0?x?1,0?y?1 其他?0求(1)常数k;(2)P(X<1/2,Y<1/2);(3) P(X+Y<1);(4) P(X<1/2)。 2.(X、Y)的联合密度函数为:f(x,y)???kxy0?x?1,0?y?x 其他?0求(1)常数k;(2)P(X+Y<1);(3) P(X<1/2)。 §3.3 边缘密度函数 1. 设(X, Y) 的联合密度函数如下,分别求X与Y的边缘密度函数。 f(x,y)? 1?2(1?x2)(1?y2)???x???,???y??? 2. 设(X, Y) 的联合密度函数如下,分别求X与Y的边缘密度函数。 ?e?x f(x,y)???0 0?y?x 其他§3.4 随机变量的独立性 1. (X, Y) 的联合分布律如下, X Y 1 2 3 试根椐下列条件分别求a和b的值; 1 1/6 1/9 1/18 - 7 - (1) P(Y?1)?1/3; 2 a b 1/9 (2) P(X?1|Y?2)?0.5; (3)已知X与Y相互独立。 2. (X,Y) 的联合密度函数如下,求常数c,并讨论X与Y是否相互独立? ?cxy20?x?1,0?y?1 f(x,y)?? 其他?0 第3章作业答案 §3.1 1: X Y 1 2 2: (1) a=0.1 b=0.3 1 0.4 0.3 0.7 (2) a=0.2 b=0.2 2 0.3 0. 0.3 (3) a=0.3 b=0.1 0.7 0.3 1 §3.2 1:(1) k = 1;(2) P(X<1/2, Y<1/2) = 1/8;(3) P(X+Y<1) = 1/3;(4) P(X<1/2) = 3/8。 2:(1) k = 8;(2) P(X+Y<1) = 1/6;(3) P(X<1/2) = 1/16。 §3.3 1: fX(x)?12dy?????2(1?x2)(1?y2)?(1?x2)?????x???; fY(y)??????1?2(1?x2)(1?y2)x?0dx?2?(1?y2)???y???; ?xe?x 2: fX(x)???0?e?y; fY(y)??x?0?0y?0y?0; §3.4 1: (1)a=1/6 b=7/18; (2) a=4/9 b=1/9;(3)a = 1/3, b = 2/9。 2: c = 6, X与Y相互独立。 第4章 随机变量的数字特征 §4.1 数学期望 1.盒中有5个球,其中2个红球,随机地取3个,用X表示取到的红球的个数,则EX是: (A)1; (B)1.2; (C)1.5; (D)2. ?3x22?x?41?2. 设X有密度函数:f(x)??8 , 求E(X),E(2X?1),E(2),并求X其他X?0?大于数学期望E(X)的概率。 - 8 - 3. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为: X Y 0 1 2 已知E(XY)?0.65, 0 0.1 0.2 a 则a和b的值是: 1 0.1 b 0.2 (A)a=0.1, b=0.3; (B)a=0.3, b=0.1; (C)a=0.2, b=0.2; (D)a=0.15, b=0.25。 4.设随机变量 (X, Y) 的联合密度函数如下:求EX,EY,E(XY?1)。 f(x,y)?? ?xy0?x?1,0?y?2 0其他?§4.2 数学期望的性质 1.设X有分布律: X 0 1 2 3 则E(X?2X?3)是: p 0.1 0.2 0.3 0.4 (A)1; (B)2; (C)3; (D)4. 2?5?yx2?y?12. 设(X,Y)有f(x,y)??4,试验证 E(XY)?E(X)E(Y),但X与Y不 ?其他?0相互独立。 §4.3 方差 1.丢一颗均匀的骰子,用X表示点数,求EX,DX. 0?x?2?(x?1)/42.X有密度函数:f(x)?? ,求 D(X). 其他0? - 9 - §4.4 常见的几种随机变量的期望与方差 1. 设X~?(2),Y~B(3,0.6),相互独立,则E(X?2Y),D(X?2Y)的值分别是: (A)-1.6和4.88; (B)-1和4; (C)1.6和4.88; (D)1.6和-4.88. 2. 设X~U(a,b),Y~N(4,3),X与Y有相同的期望和方差,求a,b的值。 (A) 0和8; (B) 1和7; (C) 2和6; (D) 3和5. §4.6 独立性与不相关性 矩 1.下列结论不正确的是( ) (A)X与Y相互独立,则X与Y不相关; (B)X与Y相关,则X与Y不相互独立; (C)E(XY)?E(X)E(Y),则X与Y相互独立; (D)f(x,y)?fX(x)fY(y),则X与Y不相关; (X,Y)?0,则不正确的是( ) 2.若 COV(A)E(XY)?E(X)E(Y);(B)E(X?Y)?E(X)?E(Y); (C)D(XY)?D(X)D(Y);(D)D(X?Y)?D(X)?D(Y); 3.(X,Y)有联合分布律如下,试分析X与Y的相关性和独立性。 X Y -1 0 1 . -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 4.E(XY)?E(X)E(Y)是X与Y不相关的( ) (A)必要条件;(B)充分条件:(C)充要条件;(D)既不必要,也不充分。 5. E(XY)?E(X)E(Y)是X与Y相互独立的( ) (A) 必要条件;(B)充分条件:(C)充要条件;(D)既不必要,也不充分。 6. 设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下:试验证X与Y不相关,但不独立。 ?21x2y/4x2?y?1 f(x,y)?? 其他?0 - 10 -
概率论与数理统计习题集及答案
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