《概率论与数理统计》作业集及答案
第1章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件
1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；
(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ；
B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则C= .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件：
(1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设S?{x:0?x?5},A?{x:1?x?3},B?{x:2??4}：则
（1）A?B? ，（2）AB? ，（3）AB? ， （4）A?B= ，（5）AB= 。
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知P(A?B)?0.8,P(A)?0.5,P(B)?0.6，则
(1) P(AB)? , (2)(P(AB))= , (3)P(A?B)= . 2. 已知P(A)?0.7,P(AB)?0.3, 则P(AB)= .
§1 .4 古典概型
1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,
(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.
2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知P(A)?1/4,P(B|A)?1/3,P(A|B)?1/2, 则P(A?B)? 。
§1 .6 全概率公式
1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个
签，说明两人抽“中‘的概率相同。
2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中
随机地取一个球，求取到红球的概率。
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§1 .7 贝叶斯公式
1． 某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1）
该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。
2． 将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，
B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传递的频繁程度为3 : 2，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？
§1 .8 随机事件的独立性
1. 电路如图，其中A,B,C,D为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路（用T表示）的概率。
A B L R C D
3. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相
互独立， 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。
第1章作业答案
§1 .1 1：（1）S?{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}； （2）S?{0,1,2：（1）A?{1,2,3}
3,5}B?{3,4,5,6}；
（2）A?{正正，正反},B?{正正，反反},C?{正正，正反，反正}。 §1 .2 1： (1) ABC；(2) ABC；(3) ABC；(4)A?B?C；(5) AB?AC?BC；
(6) AB?AC?BC 或 ABC?ABC?ABC?ABC；
2： (1)A?B?{x:1?x?4}；(2)AB?{x:2?x?3}；(3)AB?{x:3?x?4}；
（4）A?B?{x:0?x?1或2?x?5} ；（5）AB?{x:1?x?4}。
§1 .3 1： (1) P(AB)=0.3, (2)P(AB)= 0.2, (3) P(A?B) = 0.7. 2：P(AB))=0.4.
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28101019810101910（C22?C8C22?C82C22）/C30/C30§1 .4 1：(1)C8C22/C30,(2)(,(3)1-(C22?C8C22）.
2： P4/4.
§1 .5 1：. 2/6； 2： 1/4。
§1 .6 1： 设A表示第一人“中”，则 P(A) = 2/10
设B表示第二人“中”，则 P(B) = P(A)P(B|A) + P(A)P(B|A) =
3321822???? 10910910两人抽“中‘的概率相同, 与先后次序无关。
2： 随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是0.5，所求概率为：
p = 0.5 × 0.4 + 0.5 × 0.5 = 0.45
§1 .7 1：（1）94% （2）70/94； 2： 0.993；
§1 .8. 1： 用A,B,C,D表示开关闭合，于是 T = AB∪CD, 从而，由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性
P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)
= P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D)
?p2?p2?p4?2p2?p4
2： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38； (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.
第2章 随机变量及其分布
§2.1 随机变量的概念，离散型随机变量
1 一盒中有编号为1，2，3，4，5的五个球，从中随机地取3个，用X表示取出的3个球 中的最大号码., 试写出X的分布律.
2 某射手有5发子弹，每次命中率是0.4，一次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用X表示射击的次数, 试写出X的分布律。
§2.2 0?1分布和泊松分布
1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从λ=4的泊松分布，求
(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率； (3)每分钟最多有1次呼叫的概率；
2 设随机变量X有分布律： X 2 3 , Y～π(X), 试求： p 0.4 0.6
（1）P(X=2,Y≤2)； (2)P(Y≤2)； (3) 已知 Y≤2, 求X=2 的概率。
§2.3 贝努里分布
1 一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算
机是否被使用相互独立，问在同一时刻 (1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少？ (2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少？ (3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少？ (4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少？
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2 设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？
§2.4 随机变量的分布函数
x??1?0?1设随机变量X的分布函数是： F(x) = ?0.5?1?x?1
?1x?1?（1）求 P(X≤0 )； P?0?X?1?；P(X≥1)，(2) 写出X的分布律。
?Ax?2 设随机变量X的分布函数是：F(x) = ?1?x??0
x?0x?0, 求（1）常数A, (2) P?1?X?2?.
§2.5 连续型随机变量
1 设连续型随机变量X的密度函数为：f(x)???kx0?x?1
?0其他（1）求常数k的值；（2）求X的分布函数F(x)，画出F(x) 的图形， （3）用二种方法计算 P(- 0.5 x?1?0?2 设连续型随机变量x?0的分布函数为：F(x) = ?lnx1?x?e ?1x?e?(1)求X的密度函数f(x)，画出f(x)的图形，(2)并用二种方法计算 P(X>0.5). §2.6 均匀分布和指数分布 1设随机变量K在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 4x+ 4Kx + K + 2 = 0 有实根的概率。 - 4 - 2 2 假设打一次电话所用时间（单位：分）X服从??0.2的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。 §2.7 正态分布 1 随机变量X～N (3, 4), (1) 求 P(2 2 某产品的质量指标X服从正态分布，μ=160，若要求P(120 §2.8 随机变量函数的分布 1设随机变量X的分布律为； X 0 1 2 p 0.3 0.4 0.3 Y = 2X – 1, 求随机变量X的分布律。 2设随机变量X的密度函数为：f(x)???2(1?x)0?x?1， 其他?0Y?X2；求随机变量Y的密度函数。 3. 设随机变量X服从（0， 1）上的均匀分布，Y??2lnX ，求随机变量Y的密度函数。 第2章作业答案 §2.1 1： X 3 4 5 p 0.1 0.3 0.6 2： X 1 2 3 4 5 p 0.4 0.6×0.4 0.6×0.6×0.4 0.6×0.6×0.6×0.4 0.6×0.6×0.6×0.6×1 §2.2 1： (1) P(X = 1) = P(X≥1) – P(X≥2) = 0.981684 – 0.908422 = 0.073262, (2) P(X≥1) = 0.981684, (3) P(X≤1) = 1 - P(X≥2) = 1 – 0.908422 = 0.091578。 - 5 -
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