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三角形解题中的数学思想方法例析
数学思想和方法是数学基础知识、基本技能的本质体现,是形成数学能力、数学意识的桥梁,是灵活应用数学知识、技能的灵魂.因此,在解三角形题过程中准确快捷的关键是正确运用数学思想方法.这里对三角形解题时常用的分类讨论思想、整体思想、方程思想、转化思想、数形结合思想等举例予以说明，以供同学们学习参考应用. 一、分类讨论思想
当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况分别来讨论，得出各种情况下相应的结论的处理问题的思维方法。例如三角形的分类：
?不等边三角形? ①按边分：三角形??腰和底边不相等的三角形
等腰三角形???等边三角形??锐角三角形（三个角都是锐角）? ②按角分：三角形?直角三角形（有一个角是直角）
?钝角三角形（有一个角是钝角）? 例1 已知等腰三角形的周长为21㎝，两条边长之差为3㎝，求各边的长。 分析 已知两边之差为3㎝，则较长的边有可能是腰也有可能是底，故应分两种财政部进行进行讨论。
解：设腰长为x㎝，①当较长边为腰时，则有2x?(x?3)?21，解得x?8。 此时三边长分别为8㎝，8㎝，5㎝。符合题意。 ②当较长边为底时，则有2x?(x?3)?21，解得x?6。
此时三边长分别为6㎝，6㎝，9㎝。符合题意。 所以三边为8㎝，8㎝，5㎝或6㎝，6㎝，9㎝。
例2 在等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为15cm和6cm两部分，求三角形各边的长.
分析:要注意等腰三角形有两边相等, 一腰上的中线把它的腰分成的两段相等.由于问题中未指明哪一段为15cm,哪一段为6cm,故需分类讨论. A 解:设腰长为xcm,底边为ycm,即AB=x,则AD=CD=
1x,BC=y 211 ⑴ 若x+x=6时,则y+x=15.
2211 由x+x=6得x=4.把x=4代入y+x=15得y=13.
22 因为4+4<13,所以不能构成三角形. ⑵ 若x+ 由x+
D C B 图1
11x=15时,则y+x=6. 2211x=15得x=10.把x=10代入y+x=15得y=1. 22 10+1>10符合题意, 所以三角形三边分别为10cm、10cm、1cm.
例3 已知非直角三角形ABC中,∠A=45°,高BD和CE所在直线交于H,求∠BHC的度数.
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分析:三角形的形状不同,高的交点的位置也就不同.高的
A 交点可能在三角形内部,也可能在三角形外部,故应分两种情况
加以讨论.
解:⑴当△ABC为锐角三角形时(图2)
E ∵BD、CE是△ABC的高, ∠A=45°, ∴∠ADB=∠BEH=90°. D 在△ABD中, ∠ABD=180°-90°-45°=45°. H C B ∵∠BHC是△BHE的外角, ∴∠BHC=90°+45°=135°.
图2
⑵当△ABC为钝角三角形时(图3) A ∵H是△ABC两条高所在直线的交点 ∠A=45°, E ∴∠ABD=180°-90°-45°=45°. C 在Rt△BEH中, ∠BHC=180°-90°-45°=45°. ∴∠BHC的度数是135°或45°.
B H D 注意：涉及三角形高的问题,常常会因为高的位置而需
图3
要讨论,否则就会漏解. 二、方程思想
运用列方程的方法来解决与图形有关的计算问题是十分有效的手段。
例4 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的3倍，且它的每一个内角都相等，求这个多边形各角的度数。
解析 由于内角和等于外角和的3倍，可求出内角和，根据内角和反求出边数是解本题的关键；通过列方程来求解是解此类问题的一般方法。
解：设这个多边形的边数为n，则有180?(n?2)?3?360，解得n?8。所以每内
00角的度数为(8?2)?180?8?135，或每外角的度数为360?8?45所以每内角的度数
0000为135。
例5 如图4,在△ABC 中,∠B =∠C，∠1=∠2，∠BAD=40°.求∠EDC. 分析：利用三角形的外角性质，设法建立关于∠EDC的方程. 解:设∠EDC=x.
A 因为∠1是△DEC的外角,所以∠1=x+∠C. 又因为∠1=∠2,所以∠2=x+∠C.
1 E 又因为∠2是△ABD的外角,所以∠ADC=∠B+∠BAD. 2 x B C 所以∠B+∠BAD =∠2+x,即∠B+40°=∠C+2x. D 图4 因为∠B =∠C,所以2x=40°,解得x=20°.
评注:方程是解决很多数学问题的重要工具,很多数学问题可以通过构造方程而获解.事实上,用设未知数的方法表示所求,可使计算过程书写简便,也易于表明角与角之间的关系. 三、转化与化归思想
转化与化归思想是中学数学中常见的一种数学思想方法，它的应用十分广泛，我们在解决数学问题时，经常运用转化与化归的思想，将复杂问题转化成简单的问题，将未知转化为已知，将生疏的问题转化为熟悉的问题等等。例如在本章中多边形的内角和公式和外角和公式都是通过将多边形转化成三角形来解决的。大家可以观察下面例子。
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例6 如图5，一艘货轮在A处看见巡逻艇M在其北偏东62的方向上，此时一艘客轮
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在B处看见巡逻艇M在其北偏东13的方向上，此时从巡逻艇上看这两艘轮船的视角∠AMB有多大？
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分析 F、B、M的连线构成△FBM，所求的 ∠AMB是△FBM的一个内角，如果能求出△FBM的 外角∠AFB、△FBM的内角∠FBM，就能求出∠AMB。
本题材可将方位角的问题转化为三角形的内角或外角的问题，这是解决此类问题的关键。
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解：由AD∥BF，可得∠AFB=∠DAM=62，因为∠AFB=∠AMB+∠FBM
000
所以∠AMB=∠AFB-∠FBM=62-13=49。
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答：从巡逻艇上看这两艘轮船的视角∠AMB是49。 例7 如图6，求五角星各顶角之和.
分析:因为∠A、∠B、∠C、∠D、∠E较分散，本例中又不 知其度数，因此，应设法将它们集中起来，将问题转化为三角
B 形
A 1 2 E 来处理.根据三角形外角性质和内角和定理可以求解．
解:因为∠1=∠C+∠E,∠2=∠B+∠D,
C D 又因为∠1+∠2+∠A=180°,所以图6
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
评注 此题还可以连接CD求解.当我们求多个角之和不能直接计算时,应考虑转化为三角形求解.
四、整体思想
研究某些数学问题时,往往不是以问题的某个组成部分为着眼点,而是将待解决的问题看作一个整体,通过研究问题的整体形式,整体结构做整体处理后,达到解决问题的目的. 例8 如图7,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数. C 分析:观察图形可得,图由一个四边形和一个三角形B D 构成,可根据四边形和三角形的内角和定理求度数之和.
A 解:因为∠A +∠C+∠E=180°, E 又因为∠B+∠D+∠F+∠G=360°, G F 图7 所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
评注:例题中若直接求出每一角的度数再求其和显然
是做不到的.因此,设法整体求值是解题的关键.事实上,有些数学问题,如果从局部去考虑,拘泥于常规,则举步维艰.如果从全局着手,突破常规,则会柳暗花明. 五、数形结合思想
例9 如图8，在△ABC中,已知AD是角平分线, ∠B=60°,∠C=45°,求∠ADB和∠ADC的度数.
分析:在△ABD中,∠ADB是一个内角,它等于180°-∠B-∠BAD,故求出∠BAD即可求出∠ADB的度数,这由已知条件不难求得;同理可求出∠ADC的度数.
A 解:在△ABC中, ∵∠B=60°, ∠C=45°, ∠B+∠C+∠BAC=180°, ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-45°=75°. 又∵AD是角平分线, ∴∠BAD=∠DAC=
1∠BAC=37.5°. 2B D C 在△ABD中,∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-60°-37.5°=82.5°. 图8 同理∠ADC=180°-∠C-∠DAC=180°-45°-37.5°=97.5°.
评注 几何与代数是患难兄弟，密不可分.在求解几何题中，通常数与形要结合起来才
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三角形解题中的数学思想方法例析[1]
